ユークリッド空間または平坦トーラス内の極小曲面における正則性及びモジュライの研究

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本年度の研究課題はSpecial Lagrangian多様体を幾何学的測度論の観点から研究する事であった.そのために体積最小に関する古典的な部分多様体である極小曲面の研究方法をSLの研究へと適応する事を試みた.その前段階として平坦トーラス内の極小曲面に関する研究を行った.まず4次元平坦トーラス内の極小曲面において,筆者による先行研究の具体例よりも種数の高い具体例を構成した.今回構成した具体例は長野-Smythによる結果の逆が一般には成り立たない事を示すのみならず,極小曲面全体のモジュライの研究に関係するものである.また,その後イギリスのWarwick大学のスタッフであるM.Micallef氏のもとに滞在し,この具体例の指数に関する研究を行った結果,それは6以上である事が判った.次に6次元平坦トーラス内の安定極小曲面でトーラスのどのような複素構造に対しても複素正則にならないような安定極小曲面の存在に関する研究を行った.この問題はC.Arezzp, Micallef, R.Schoenをはじめとして多くの研究者の興味をひくものであり,未だ解決されていない問題である.その第一歩としてまず具体例の構成を考えた.構成の手段として,5次元平坦トーラス内の極小曲面からそれを1助変数にて変形して6次元平坦トーラス内の複素正則な極小曲面を構成した.現在,その複素正則な極小曲面に近い極小曲面における安定性を考察中である.さらに,神戸大の藤森祥一氏との共同研究にて,筆者による3次元平坦トーラス内の極小曲面の具体例のグラフィックスおよびその構造が明らかになった.これは6本の閉折れ線によるPlateau問題の解となる極小曲面を鏡像の原理で増やしたものである.残念ながら本研究が目指す結び目に関するPlateau問題による構成ではないものの十分にその価値を評価しうるものである事が判った.