幾何学的不変量による周期的極小曲面のモジュライ空間の研究

几何不变量引起的周期极小曲面模空间的研究

• 批准号: 20K03616
• 负责人: 庄田 敏宏
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Kansai University (2021-2022)Saga University (2020)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03616/
• 关键词: 三重周期的な極小曲面; Morse指数; 退化次数; 符号数; 三重周期極小曲面; 分岐理論; 周期的極小曲面; モジュライ空間

3次元ユークリッド空間内の周期的な極小曲面全体のモジュライ空間の構造を, Morse指数・退化次数・符号数という幾何学的量を用いて解読するというのが本研究課題の趣旨であった. 本年度は, 特に, 種数が4であるような3重周期的な極小曲面全体のモジュライ空間の記述を試みた. 具体的には, 1970年に結晶学者によって構成された極小曲面の幾何的量を数学的に特定したというものである. これは前課題「周期的極小曲面の安定性およびその極限の研究」の発展的研究に該当する. 実際, 前課題は種数が3の場合を考察していたのに対して, 今回はその高種数版になる.大きな困難は, Riemann面上の第二種微分の周期計算にある. 一般に, 極小曲面はRiemann面といわれている, 複素数を用いて記述される空間の特殊ケースに該当する. Riemann面には有理型微分といわれている, Riemann面上の積分の基になるものが定義でき, その有理型微分の中で留数がないという性質をもつものを第二種微分という. 上述の幾何的量を計算するには, 考察している曲面の標準ホモロジー基底を決定し, それに沿った有理型微分の積分, 即ち, 周期を計算しなければならない. 種数が高いがゆえに, 標準ホモロジー基底の特定が困難であり, さらに, 計算結果をシンプルな型にするのに技術を要する. それをすべてクリアしたというのが成果となる.また, 前前年度に実施した本研究課題に関連した研究内容が, 北海道大学が刊行している査読付き国際誌に掲載されたことも大きな成果であった.

The structure of periodic minimal surfaces in three-dimensional space, Morse index, degenerated degree, sign number and geometric quantity are the interesting objects of this research. This year, we try to describe all the minimal surfaces with 4 or 3 cycles. In 1970, the crystallographic scholar made up the geometric quantity of the minimal surface. This paper is an extension of the research on the stability and limit of periodic minimal surfaces. In fact, the previous topic has been investigated in 3 cases, but now it has been investigated in 3 cases. The second kind of differential on Riemann surface is difficult to calculate. In general, minimal surfaces are Riemann surfaces, and complex primes are described in terms of special spaces. Riemann surface is a rational type differential, Riemann surface is a rational type differential. The geometric quantities mentioned above are calculated by examining the standard basis of the curved surface and determining the integral along the rational differential, i.e., calculating the period. The number of species is high, the standard is high, the specific difficulty of the substrate is high, the calculation result is high, the technology is high. The results of the study were as follows: This research topic was published in Hokkaido University and published in the International Journal of Hokkaido University.

项目成果

業績リスト

成就一览

閉曲面上におけるLaplacianの最小正固有値に関する等周問題について

关于封闭曲面上拉普拉斯最小正特征值的等周问题

• 发表时间: 2021
• 作者: Ito Noboru;Yamada Kaito;Takuro Mochizuki;庄田敏宏
• 通讯作者: 庄田敏宏

The Existence of rG Family and tG Family, and Their Geometric Invariants

rG族和tG族的存在性及其几何不变量

• DOI: 10.3390/math8101693
• 发表时间: 2020
• 期刊: Mathematics
• 影响因子: 2.4
• 作者: Ejiri Norio;Shoda Toshihiro
• 通讯作者: Shoda Toshihiro

The geometric invariants for mPCLP/mDCLP family

mPCLP/mDCLP 系列的几何不变量

• DOI: 10.14492/hokmj/2020-411
• 发表时间: 2022
• 期刊: Hokkaido Mathematical Journal
• 影响因子: 0.5
• 作者: Gomi Kiyonori;Kubota Yosuke;Thiang Guo Chuan;Norio Ejiri and Toshihiro Shoda
• 通讯作者: Norio Ejiri and Toshihiro Shoda

On the non-existence of new families of triply periodic minimal surfaces

关于新的三周期极小曲面族的不存在

• 发表时间: 2022
• 作者: Shunsuke Aimi;Donghi Lee;Shunsuke Sakai;Makoto Sakuma;庄田敏宏
• 通讯作者: 庄田敏宏