幾何学的不変量による周期的極小曲面のモジュライ空間の研究

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3次元ユークリッド空間内の周期的な極小曲面全体のモジュライ空間の構造を, Morse指数・退化次数・符号数という幾何学的量を用いて解読するというのが本研究課題の趣旨であった. 本年度は, 特に, 種数が4であるような3重周期的な極小曲面全体のモジュライ空間の記述を試みた. 具体的には, 1970年に結晶学者によって構成された極小曲面の幾何的量を数学的に特定したというものである. これは前課題「周期的極小曲面の安定性およびその極限の研究」の発展的研究に該当する. 実際, 前課題は種数が3の場合を考察していたのに対して, 今回はその高種数版になる.大きな困難は, Riemann面上の第二種微分の周期計算にある. 一般に, 極小曲面はRiemann面といわれている, 複素数を用いて記述される空間の特殊ケースに該当する. Riemann面には有理型微分といわれている, Riemann面上の積分の基になるものが定義でき, その有理型微分の中で留数がないという性質をもつものを第二種微分という. 上述の幾何的量を計算するには, 考察している曲面の標準ホモロジー基底を決定し, それに沿った有理型微分の積分, 即ち, 周期を計算しなければならない. 種数が高いがゆえに, 標準ホモロジー基底の特定が困難であり, さらに, 計算結果をシンプルな型にするのに技術を要する. それをすべてクリアしたというのが成果となる.また, 前前年度に実施した本研究課題に関連した研究内容が, 北海道大学が刊行している査読付き国際誌に掲載されたことも大きな成果であった.