アーベル多様体及びその保型性と関連するアルゴリズムの数論的研究

研究テーマは「アーベル多様体の保形性」である.これは「有理数体Q上定義される楕円曲線はすべて保形性を持つ」という谷山志村予想と呼ばれる問題に端を発するものである.現在では十分な解決をみたこの予想は,予想の対象がQ上の楕円曲線にとどまること無く,アーベル多様体のより大きな族に拡張されており,いくつかの問題が提起されている.このテーマの下で,(1)偏極アーベル多様体のモデュライ空間におけるある性質を満たす有理点の決定(2)代数曲線に関連するアルゴリズムの開発とその実装に焦点を当て研究を行った.特に,(1),(2)の話題に関連して,「種数の高い代数曲線とAbel多様体」というテーマで今年度開催された第15回整数論サマースクールにおいて,基本的な話題である「Abel-Jacobiの定理」について近畿大学の尾崎学氏とともに講演し,さらに発展的な話題の一つとして「CM型の種数2の代数曲線とアーベル曲面」についても講演を行った.これらの話題についての論文を2編執筆し,今までに書かれていない情報も盛り込んだ形でまとめた.これは既に今年度2月に出版されている.また,(1)の研究では,Q上のCM型の種数2の曲線について,楕円曲線の2つの積に分解する場合についての数値実験を行った.得られたデータを精査した上で,論文としてまとめる予定である.さらに,(2)の話題に関連して,有限体上の種数2の曲線に関してもいくつかの計算機実験を行った.これにより,一定の帰結は得られているが,現段階で数学的な証明が完全ではないため,終わり次第論文としてまとめる予定である.

研究テーマは「アーベル多様体の保形性」である.これは「有理数体Q上定義される楕円曲線はすべて保形性を持つ」という谷山志村予想と呼ばれる問題に端を発するものである.現在では十分な解決をみたこの予想は,予想の対象がQ上の楕円曲線にとどまること無く,アーベル多様体のより大きな族に拡張されており,いくつかの問題が提起されている.このテーマの下で,(1)偏極アーベル多様体のモデュライ空間におけるある性質を満たす有理点の決定(2)代数曲線に関連するアルゴリズムの開発とその実装に焦点を当て研究を行った.特に,(1),(2)の話題に関連して,「種数の高い代数曲線とAbel多様体」というテーマで今年度開催された第15回整数論サマースクールにおいて,基本的な話題である「Abel-Jacobiの定理」について近畿大学の尾崎学氏とともに講演し,さらに発展的な話題の一つとして「CM型の種数2の代数曲線とアーベル曲面」についても講演を行った.これらの話題についての論文を2編執筆し,今までに書かれていない情報も盛り込んだ形でまとめた.これは既に今年度2月に出版されている.また,(1)の研究では,Q上のCM型の種数2の曲線について,楕円曲線の2つの積に分解する場合についての数値実験を行った.得られたデータを精査した上で,論文としてまとめる予定である.さらに,(2)の話題に関連して,有限体上の種数2の曲線に関してもいくつかの計算機実験を行った.これにより,一定の帰結は得られているが,現段階で数学的な証明が完全ではないため,終わり次第論文としてまとめる予定である.