代数曲線に関するアルゴリズムとアーベル多様体及びそのモデュライ空間の数論的研究

代数曲线算法和阿贝尔簇及其模空间的算术研究

• 批准号: 14740029
• 负责人: 梅垣 敦紀
• 金额: $ 1.66万
• 依托单位: Sophia University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740029/
• 关键词: アーベル多様体; モデュライ空間; 有理点; 偏極; 虚数乗法; 虚数乗法論; 国際情報交換; スペイン

研究テーマは「アーベル多様体の保形性」である。これは「有理数体Q上定義される楕円曲線はすべて保形性を持つ」という谷山氏村予想と呼ばれる問題に端を発するものである。現在では十分な解決をみたこの予想は、有名なFermat予想と直結して注目を集めた問題であり、1次元アーベル多様体である楕円曲線と1変数保形形式とを結びつける深遠な意味を持つ問題でもある。現在では、この予想の対象がQ上の楕円曲線にとどまること無く、アーベル多様体のより大きな族に拡張されている。このテーマの下で、とりわけ、(1)(1,d)型のアーベル曲面のモデュライ空間におけるある性質を満たす有理点の決定(2)種数2の代数曲線に関するアルゴリズムの開発とその実装(3)アーベル曲面と2次元ジーゲル保形形式との対応という問題に焦点を当てて研究を行っている。(1)の問題については、2次体上の有理点を与えるアーベル曲面や有理数体上定義されるがその自己準同型環が4次CM体の極大整環ではない整環となるようなアーベル曲面の具体例を数多く構成した。また、(2),(3)の問題に関しても、多変数の保系形式のフーリエ係数を計算することにより、いくつかの具体例について取り組んだ。以上の研究成果のまとめとして、3月にカナダのトロント大学で開かれたGANITAセミナーにおいて講演を行った。さらに、これらの結果について論文として纏め発表する予定である。さらに、8月に広島県福山市で開催した第12回整数論サマースクールでは、90人近い参加者を集め世話人として会を取りまとめた。

研究主题是“ Abelean流形的形式”。这源于一个称为taniyama-michimura预测的问题，“在理性数值场Q上定义的所有椭圆曲线均具有保留形式。”现在已经完全解决了这一预测，是一个问题，它吸引了与著名的费马特预测有关的关注，这也是一个具有深刻含义的问题，它将椭圆曲线（一种一维的Abelean歧管）与一种可保守形式形式联系起来。现在，这一预测扩展到了一个更大的Abelean歧管家庭，而不仅仅是Q上的椭圆曲线。在此主题下，我们重点介绍（1）确定在（1，d）类型（1，d）Abel表面（2）与Algorith的模量空间中满足某些特性（2）使用Algorith的某些属性的某些特性的问题，并与Algebra curnem surge surge unggebra curnes和3种，以及3种物种curves（3），以及3种curves curves and and belts（3种），以及3种物种curves curves and（3种）（3种）。二维西格尔的形式。关于问题（1），许多在二次磁场上提供合理点的亚伯表面的具体示例，以及根据有理数定义的Abel表面，但它们的自同形环是平衡的，而不是平衡的，而不是二次CM场的最大取向环。同样，关于问题（2）和（3），我们通过计算多元保护格式的傅立叶系数来研究了几个特定示例。为了总结上述研究结果，他于3月在加拿大多伦多大学举行的Ganita研讨会上发表了演讲。此外，这些结果将在全面的论文中提出。此外，八月在福岛县举行的第12个整数理论暑期学校吸引了近90名参与者，并以看护人的身份组织了会议。

项目成果

UMEGAKI Atsuki: "Determination of all Q-rational CM-points in the moduli spaces of polarized abelian surfaces"Analytic Number Theory, C.Jia and K.Matsumoto (eds.), Developments in Mathematics. 6. 349-357 (2003)

UMEGAKI Atsuki：“极化阿贝尔曲面模空间中所有 Q 有理 CM 点的确定”分析数论，C.Jia 和 K.Matsumoto（编辑），数学发展。

梅垣 敦紀: "代数的整数論(足立恒雄監修)(平野 皓正編)(原著:J.ノイキルヒ著 Algebraishe Zahlentheorie)"シュプリンガー・フェアラーク東京株式会社. 585 (2003)

Atsunori Umegaki：“代数数论（足立恒夫编辑）（平野照正编辑）（原作者：J. Neukirch 着的 Algebraishe Zahlentheorie）” Springer-Verlag Tokyo Co., Ltd. 585 (2003)

Determination of all Q-rational CM-points in the moduli spaces of polarized abelian surfaces

极化阿贝尔曲面模空间中所有 Q 有理 CM 点的确定

• 发表时间: 2002
• 期刊: Analytic Number Theory, Developments in Mathematics(C.Jia and K.Matsumoto(eds.)) 6
• 作者: UMEGAKI;Atsuki
• 通讯作者: Atsuki