重み多項式、不変式、ジーゲルモジュラ形式の研究

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複素数体上の種数1の重み多項式環を考える。この環から8次と24次の整数係数の元を適当にとる。すると任意の自己双対重偶符号の種数1の重み多項式は、選ばれた二つの元の有理整数係数多項式としてユニークに表現される。同様の問題を種数2の場合について考える(以下、"種数2"は省略)。重み多項式達が複素数体上生成する環は、次数8、24、24、32、40の斉次多項式によって生成される。生成元として自己双対重偶符号の重み多項式たちをとった場合、これら5つの元の有理整数係数多項式表現では得られない自己双対重偶符号の重み多項式があることが分かっている(Choie教授との共同研究。ここでは関係ないが、さらに詳しく係数に表れる有理数はどのような素数が分母にくるかまで決定できる)。では、重み多項式とは限らず、次数8、24、24、32、40の有理整数係数の斉次多項式(これらは複素数体上の重み多項式環からとる)をとって、すべての自己双対重偶符号の重み多項式がこれらの有理整数係数多項式として表現ができるか。これに対して否定的な結果を与えた。つまり、次数が8、24、24、32、40の重み多項式環の有理整数係数の元をどのようにとっても、すべての自己双対重偶符号の重み多項式が選ばれた5つの元の有理整数係数多項式として表現できるようにすることは不可能である。これはChoie教授との結果の一部分の拡張である。これらの研究は、重み多項式の持つ性質を明らかにすることを一つの目的とする。