ポアソンランダムシュレーディンガー作用素のスペクトルに関する研究

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本研究は,当初,ポアソンランダムシュレーディンガー作用素のスペクトルの決定問題を目標として申請されたが,一部の例外(2次元の場合で,サイトポテンシャルの積分値が4πの整数倍になる場合)を除いて問題が解決されてしまったため,問題を他のものに変更した.変更当初は,デルタ型のサイトポテンシャルがボアソン分布するモデルを考えていたが,自己共役性の証明がうまくいかず,成果は得られなかった.その後,科研費を利用して参加した岡山大学での数学会で,偶然,埼玉大学の太田雅人助教授と会い,問題についていろいろと話をするうちに,非線形シュレーディンガー方程式にデルタ型のdefectがある場合の問題を考えると面白いのではないかという展開になった.そ1の後,たびたび科研費を利用させていただき,太田氏と議論を深め,以下のような問題について,部分的な結果を得た.まず,attractiveなnonlinearityとrepulsiveなnonlinearityを原点で接合した空間一次元の非線形シュレーディンガー方程式を考える.比較的簡単な議論で,この方程式が定常解を持たないことが証明できる.そこで,原点にデルタ型のdefectを入れてみる.Defectがrepulsive(係数が正)であれば定常解は存在しないが,attractive(係数が負)であれば,定常解が出現することが証明できる.また,その安定性と不安定性とパラメータの関係を示すことができる.これは,解が具体的に表示できることを陽に利用することにより,解のnormの二乗の微分が計算して証明される.現在,本結果を整理中であり,できるだけ早い時期に論文にまとめて投稿する予定である.