量子可積分系における物理量の代数的構造

昨年度の研究では、disorderパラメータの入ったXXZ模型における相関関数の代数的表示式を構成した。この表示式は、反可換な二つの作用素により記述される。これらの作用素は、XXZ模型における局所作用素全体のなす空間に作用するが、その性質を調べることにより、消滅演算子として働いている。今年度の研究では、これらに対応する生成演算子の働きをする作用素の構成に成功した。上で述べた生成・消滅演算子は以下のようにして構成される。量子代数Uq(sl_2)の2次元表現とq-oscillator表現のテンソル積をauxiliary space とする L operator の積について、その(2次元表現に関する)非対角成分のq-oscillator 部分についてのトレースをとることで定まる作用素を考える。このとき、この作用素の特異部分から上記の消滅演算子が定まり、正則部分から決まるある差分方程式の解として生成演算子が定義される。以上のようにして構成された消滅・生成演算子について、生成演算子どうしが反可換である点を除いて、正準交換関係を満たすことを証明した。我々の結果により、XXZ模型の局所作用素全体の空間にはフェルミ構造があることが明らかとなった。さらに、昨年度の研究で得られた相関関数の代数的表示式から、我々の構成した生成演算子により作られる局所作用素の相関関数が、多重積分を用いることなく行列式によって明示的に表示されることも分かる。このような場の理論的な構造を活用することにより、スピン相関関数など、重要な物理量を計算する可能性が広がるであろう。また、我々の発見したフェルミ構造を表現論の立場から数学的に理解することは興味深い問題であると思われる。

昨年度の研究では、disorderパラメータの入ったXXZ模型における相関関数の代数的表示式を構成した。この表示式は、反可換な二つの作用素により記述される。これらの作用素は、XXZ模型における局所作用素全体のなす空間に作用するが、その性質を調べることにより、消滅演算子として働いている。今年度の研究では、これらに対応する生成演算子の働きをする作用素の構成に成功した。上で述べた生成・消滅演算子は以下のようにして構成される。量子代数Uq(sl_2)の2次元表現とq-oscillator表現のテンソル積をauxiliary space とする L operator の積について、その(2次元表現に関する)非対角成分のq-oscillator 部分についてのトレースをとることで定まる作用素を考える。このとき、この作用素の特異部分から上記の消滅演算子が定まり、正則部分から決まるある差分方程式の解として生成演算子が定義される。以上のようにして構成された消滅・生成演算子について、生成演算子どうしが反可換である点を除いて、正準交換関係を満たすことを証明した。我々の結果により、XXZ模型の局所作用素全体の空間にはフェルミ構造があることが明らかとなった。さらに、昨年度の研究で得られた相関関数の代数的表示式から、我々の構成した生成演算子により作られる局所作用素の相関関数が、多重積分を用いることなく行列式によって明示的に表示されることも分かる。このような場の理論的な構造を活用することにより、スピン相関関数など、重要な物理量を計算する可能性が広がるであろう。また、我々の発見したフェルミ構造を表現論の立場から数学的に理解することは興味深い問題であると思われる。