倉西構造の方法による境界付き擬正則曲線のモジュライと、数え上げ不変量に関する研究

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本年度は引き続き有向深谷圏の研究を行い、特に昨年度の結果の応用としてトーリックdel Pezzo曲面に対する局所ホモロジー的ミラー対称性定理を得た.有向深谷圏とはLefschetzファイブレーションW:X→Cに対して定義されるシンプレクティック不変量であり、古典的なPicard-Lefschetz理論における消滅サイクルの交叉行列の「圏化」と見なされる.昨年度はこの深谷圏が、Lefschetzファイブレーションの安定化W':X×C→Cに対して不変であることを定式化・証明した(以下「安定化定理」と呼ぶ).安定化定理はdimensional reductionによる計算原理として、最も簡単且つ基本的である.本年度はこの結果を拡張し、また応用する方向で研究を進めた.ひとつは、安定化の拡張としてポテンシャルWとn次多項式Pの和を考え、それに対する有向深谷圏の挙動を調べることである.Pの有向深谷圏が高次のA無限大構造を持たない微分次数付圏になることを利用すると、一定の条件の下でW+Pの有向深谷圏はWの有向深谷圏とPの有向深谷圏のテンソルになり、従って両者の導来圏を取ると、条件なしで三角圏の同値が得られることを示した.これにより、Fermat型多項式の有向深谷圏の計算が可能となった.さらにトーリックdel Pezzo曲面XとそのLandau-GinzburgミラーWに対し、前者の標準束K上の連接層の導来圏と、W+uvの深谷圏の導来圏の圏同値(局所ミラー定理)を得た.これは安定化定理とトーリックdel Pezzo曲面に対するホモロジー的ミラー定理(植田)の応用であり、高次元の(非局所)ミラー定理へのひとつのアプローチである.