絡み目のアレクサンダー多項式に関する研究

交代結び目のアレクサンダー多項式に対する「台形予想」を、種数2以下の交代結び目に対しては予想が正しいということを証明した。また、台形的な結び目のアレクサンダー多項式を与えたとき、それをアレクサンダー多項式として持つ交代結び目の存在性の問題に関して、台形的なアレクサンダー多項式で、交代結び目では実現されないような実例を構成することができた。2003年にP. OzsvathとZ. Szaboは、交代結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する線形不等式族を与えた。本研究で、私は種数2の交代結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する線形不等式族を、新たに構成した。また、この新たに構成した線形不等式族は、この種のものとして最良のものであることを示した。すなわち、種数2の交代結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する線形関係式は、私が構成した線形不等式族から全て導かれるということを証明した。特に、OzsvathとSzaboによる線形不等式族は、私の構成した線形不等式族の帰結として得られる。交代結び目のアレクサンダー多項式に対するアプローチを、正結び目(交点が全て正交点からなる図式を持つ結び目)に適用することで、種数2正結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する最良の線形不等式を得ることが出来た。さらに、これらの結果を組み合わせることによって、交代結び目と正結び目の両方を含む、さらに広いクラスである、homogeneous結び目に関しても、同様の結果を得ることができた。即ち、種数2のhomogeneous結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する最良の線形不等式を得ることができた。

交代結び目のアレクサンダー多項式に対する「台形予想」を、種数2以下の交代結び目に対しては予想が正しいということを証明した。また、台形的な結び目のアレクサンダー多項式を与えたとき、それをアレクサンダー多項式として持つ交代結び目の存在性の問題に関して、台形的なアレクサンダー多項式で、交代結び目では実現されないような実例を構成することができた。2003年にP. OzsvathとZ. Szaboは、交代結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する線形不等式族を与えた。本研究で、私は種数2の交代結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する線形不等式族を、新たに構成した。また、この新たに構成した線形不等式族は、この種のものとして最良のものであることを示した。すなわち、種数2の交代結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する線形関係式は、私が構成した線形不等式族から全て導かれるということを証明した。特に、OzsvathとSzaboによる線形不等式族は、私の構成した線形不等式族の帰結として得られる。交代結び目のアレクサンダー多項式に対するアプローチを、正結び目(交点が全て正交点からなる図式を持つ結び目)に適用することで、種数2正結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する最良の線形不等式を得ることが出来た。さらに、これらの結果を組み合わせることによって、交代結び目と正結び目の両方を含む、さらに広いクラスである、homogeneous結び目に関しても、同様の結果を得ることができた。即ち、種数2のhomogeneous結び目のアレクサンダー多項式の係数に関する最良の線形不等式を得ることができた。