2次元特異点の普遍アーベル被覆について

2次元特異点Xのリンクが有理ホモロジー球面のとき,その普遍アーベル被覆とよばれる2次元特異点Yが存在する.一方,Yと同じ位相を持つsplicetype特異点(Brieskorn完全交叉の一般化)とよばれるものがXの双対グラフから組み合わせ的な方法で(同特異変形を除いて)定まる.さらに,そのsplice type特異点が普遍アーベル被覆の被覆変換群の作用を持つとき,その商はやはりXと同相な特異点で,splice quotient特異点とよばれる.splice quotient特異点を特徴付けることは,特殊な複素構造を記述する方法を提示する上でも,不変量の計算などの技術的な視点からも重要な問題である.これは本研究のテーマのひとつである.NeumanとWahlは,X上にある特殊な関数が存在することがsplice quotient特異点を特徴付けると述べた(End Curve Theorem).本年度は,まずsplice quotient特異点の特異点解消空間のある種の直線束のコホモロジーの次元を与える公式を改良した.次に,End Curve Theoremの別証明を与えた.NeumannとWah1の証明が曲線特異点から定まる数値的半群の解析によるのに対し,本研究では,例外集合におけるフィルトレイションとそれに付随する次数付き環を調べる方法をとった.それにより,短くシンプルな証明が得られた(論文は投稿中).splice-quotient特異点の構造,不変量に関する解決すべき問題はまだあるが,それについても継続して研究を行いたい.

2次元特異点Xのリンクが有理ホモロジー球面のとき,その普遍アーベル被覆とよばれる2次元特異点Yが存在する.一方,Yと同じ位相を持つsplicetype特異点(Brieskorn完全交叉の一般化)とよばれるものがXの双対グラフから組み合わせ的な方法で(同特異変形を除いて)定まる.さらに,そのsplice type特異点が普遍アーベル被覆の被覆変換群の作用を持つとき,その商はやはりXと同相な特異点で,splice quotient特異点とよばれる.splice quotient特異点を特徴付けることは,特殊な複素構造を記述する方法を提示する上でも,不変量の計算などの技術的な視点からも重要な問題である.これは本研究のテーマのひとつである.NeumanとWahlは,X上にある特殊な関数が存在することがsplice quotient特異点を特徴付けると述べた(End Curve Theorem).本年度は,まずsplice quotient特異点の特異点解消空間のある種の直線束のコホモロジーの次元を与える公式を改良した.次に,End Curve Theoremの別証明を与えた.NeumannとWah1の証明が曲線特異点から定まる数値的半群の解析によるのに対し,本研究では,例外集合におけるフィルトレイションとそれに付随する次数付き環を調べる方法をとった.それにより,短くシンプルな証明が得られた(論文は投稿中).splice-quotient特異点の構造,不変量に関する解決すべき問題はまだあるが,それについても継続して研究を行いたい.