複素2次元特異点の解析的不変量と構造に関する研究

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本年度は渡辺敬一氏（元日本大学教授）と吉田健一氏（日本大学教授）とともに正規還元種数に関連する課題を中心に研究を行った．正規還元種数が2であるイデアルを楕円型イデアルという．幾何種数イデアル (正規還元種数が1) のコア (core) については特異点解消空間上のサイクルによる表示が我々の共同研究で示されているが，楕円型イデアルについてはほとんど結果が無かった．本年度は最小楕円型特異点のイデアルのコアの表示を得た．それにより，楕円型イデアルが幾何種数イデアルと類似するクラスとそうでないクラスからなることが明確になった．次に，楕円型イデアルの正規正接錐 (normal tangent cone) が Gorenstein であることの特徴づけを得た．さらに，楕円型特異点の場合に正規正接錐が Gorenstein になるものを分類した．これは，特異点解消上のある種のイデアル層のうち，大域切断で生成されるものの分類に対応するものである．正接錐の性質は大変よく調べられているが，正規正接錐に関する研究はあまり無く，それを幾何学的側面から研究することは重要であると思われる．この研究は，現在も進展を続けており，一般のイデアルに対する結果も得られつつある．その中で，Brieskorn 超曲面特異点の極大イデアルの正規正接錐のGorenstein 性の特徴づけも得ることが出来た．正規還元種数は，特異点解消空間上のイデアル層のコホモロジーを扱う際の基本的な不変量であるが，現状ではその値を求めることは困難であり，位相的不変量であるかどうかも不明である．しかし，本年度末に正規還元種数を算術種数を用いて上から評価する方法が得られた．次年度に関係する理論を整備する予定である．