複素2次元特異点の解析的不変量と構造に関する研究

复杂二维奇点的解析不变量和结构研究

• 批准号: 21K03215
• 负责人: 奥間 智弘
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Yamagata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03215/
• 关键词: 2次元正規特異点; normal reduction number; 楕円型イデアル; 幾何種数; 2次元特異点

本年度は渡辺敬一氏（元日本大学教授）と吉田健一氏（日本大学教授）とともに正規還元種数に関連する課題を中心に研究を行った．正規還元種数が2であるイデアルを楕円型イデアルという．幾何種数イデアル (正規還元種数が1) のコア (core) については特異点解消空間上のサイクルによる表示が我々の共同研究で示されているが，楕円型イデアルについてはほとんど結果が無かった．本年度は最小楕円型特異点のイデアルのコアの表示を得た．それにより，楕円型イデアルが幾何種数イデアルと類似するクラスとそうでないクラスからなることが明確になった．次に，楕円型イデアルの正規正接錐 (normal tangent cone) が Gorenstein であることの特徴づけを得た．さらに，楕円型特異点の場合に正規正接錐が Gorenstein になるものを分類した．これは，特異点解消上のある種のイデアル層のうち，大域切断で生成されるものの分類に対応するものである．正接錐の性質は大変よく調べられているが，正規正接錐に関する研究はあまり無く，それを幾何学的側面から研究することは重要であると思われる．この研究は，現在も進展を続けており，一般のイデアルに対する結果も得られつつある．その中で，Brieskorn 超曲面特異点の極大イデアルの正規正接錐のGorenstein 性の特徴づけも得ることが出来た．正規還元種数は，特異点解消空間上のイデアル層のコホモロジーを扱う際の基本的な不変量であるが，現状ではその値を求めることは困難であり，位相的不変量であるかどうかも不明である．しかし，本年度末に正規還元種数を算術種数を用いて上から評価する方法が得られた．次年度に関係する理論を整備する予定である．

今年，我们进行了研究，重点介绍了与渡边凯伊奇（Nihon University）和吉田·肯尼奇（Nihon University）（Nihon University的教授）以及渡边的Keiichi（前教授）一起进行的与常规物种数量有关的问题。具有正常数量的物种2的理想称为椭圆形理想。我们的联合研究表明，核心（正常的还原物种数为1）是由奇异性分辨率空间上的周期表示的，但是椭圆形理想的结果很少。今年，我们获得了最小椭圆形奇点的理想核心。这清楚地表明，椭圆形理想由类似于几何物种理想和不类似的类别组成。接下来，我们获得了这样的表征，即椭圆形理想的正常切线是戈伦斯坦。此外，我们将正常切线锥变成戈伦斯坦的情况下，在椭圆形的情况下。这对应于通过全球切割产生的某些理想层的分类。切线锥的特性已经很好地研究了，但是对正常切线锥的研究不多，从几何学角度研究它们似乎很重要。这项研究继续进展，并为一般理想获得了结果。其中，我们还实现了Brieskorn Supersurface奇异性的正常切线锥的Gorenstein性质的表征。在处理奇异性分辨率空间中理想层的共同体时，正常的降低物种数量是一个基本不变，但是目前很难找到其价值，尚不清楚它是否是拓扑不变的。但是，在本财政年度结束时，获得了一种使用算术物种从上面评估常规赎回物种的方法。与此相关的理论将在下一个财政年度开发。

项目成果

The core of ideals in minimally elliptic singularities

最小椭圆奇点的理想核心

• 发表时间: 2022
• 作者: Endo Naoki;Goto Shiro;Isobe Ryotaro;Motoo Tange;吉田健一，奥間智弘，渡辺 敬一;田中真紀子;Reiko Miyaoka;田崎博之;奥間智弘，吉田健一，渡辺 敬一
• 通讯作者: 奥間智弘，吉田健一，渡辺 敬一

Geometric aspects of ideals in a normal surface singularity

法向表面奇点中理想的几何方面

• 发表时间: 2023
• 作者: Tomohiro Okuma

複素２次元特異点の基本的な解析的不変量について

复杂二维奇点的基本解析不变量

• 发表时间: 2022
• 作者: 丹下基生;鈴木龍正;奥間智弘
• 通讯作者: 奥間智弘

Alfred Renyi Institute of Mathematics/University of Budapest(ハンガリー)

布达佩斯大学阿尔弗雷德仁尼数学研究所（匈牙利）

Normal Hilbert coefficients and elliptic ideals in normal two-dimensional singularities

正规二维奇点中的正规希尔伯特系数和椭圆理想

• DOI: 10.1017/nmj.2022.5
• 发表时间: 2022
• 期刊: Nagoya Mathematical Journal
• 影响因子: 0.8
• 作者: Okuma;Tomohiro and Rossi;Maria Evelina and Watanabe;Kei-ichi and Yoshida;Ken-ichi
• 通讯作者: Ken-ichi