凸五角形タイル張り問題と球面の充填・被覆問題に関する研究

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我々は,edge-to-edgeタイル張り内でn個のタイルが1点に会する点をn価の集結点と呼ぶことにする.凸五角形タイル張り問題に関して,私はタイル張り内の集結点の性質に注目して研究を進めている.ここで,五角形で構成されたedge-to-edgeでかつnormalであるタイル張りをTとする.このとき,五角形タイル張りT内のそれぞれの五角形が同数の2種類の集結点(m個の3価集結点と5-m個のk価集結点)で構成されていると仮定すると,その五角形タイル張りTは4価と3価集結点((m,k)=(3,4))のみで出来ている場合か6価と3価集結点((m,k)=(4,6))のみで出来ている場合しか存在しないと証明した.球面上の円である球帽を用いた最密充填問題(Tammesの問題)の球帽個数N=10〜12に関して,私独自の系統的な方法で得た結果をまとめ,論文として発表した(その結果,N=1〜12に関して,私の方法で求めた結果とTammesの問題の解が完全に対応しているという興味深い事実を見いだした).とくにN=10に関して,いままでDanzerによって球帽の角直径が[1.154479,1.154480]と範囲のみで示されていたが,私は閉じた解(数式)を示した(私は約3年前に初めてN=10の場合の閉じた解を得たが,その数式はかなり長いものであった.本年度,私は3年前に得られた結果を再考し,以前と比べ格段に短い数式を導き出すことに成功しそれを発表した).