曲面結び目と曲面ブレイドに関する研究

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論文3本 1. [Unknotting numbers and triple point cancelling numbers of torus-covering knots]、2. [Satellites of an oriented surface link and their local moves]、3. [Surface links with free abelian groups]が出版された。論文1では、ある条件を満たすトーラス被覆結び目の結び目解消数と3重点解消数の上からの評価及び下からの評価を得た。特に、任意の正の整数nについて、結び目解消数がnであるトーラス被覆結び目の例と、紹び目解消数と3重点解消数がどちらも2であるトーラス被覆結び目の例を挙げることができた。これまで具体例はあまり知られていなかったことを注記しておく。論文2では、曲面結び目のある種のサテライトの形をしている曲面結び目(曲面結び目上の2次元ブレイド)について考察した。曲面結び目上の2次元ブレイドを表示する方法として、曲面図式上のチャートを定義し、曲面図式上の局所変形であるローズマンムーブをチャート付き曲面図式に拡張し、ローズマンムーブで移り合うチャート付き曲面図式で表される2次元ブレイドは同値であることを示した。これにより、曲面結び目上の2次元ブレイドを図式を用いて扱えるようになった。論文3では、絡み目群がランク3または4の自由アーベル群になるトーラス被覆絡み目の例を挙げた。1次元の絡み目群が自由アーベル群であるならば、そのランクは2以下であることが知られているので、これは曲面絡み目特有の性質を表している。また、T. Ito氏との共著論文[On surface links whose link groups are abelian]が受理された。この論文では、絡み目群が自由アーベル群である曲面絡み目について調べ、その種数とランク間に不等式が成り立つことを示した。特にトーラス型の曲面絡み目について、ランクは4以下であることが分かった。また、ランク4のトーラス型の曲面絡み目の例を挙げ、それらの2重絡み数と3重絡み数を計算した。特に、これらの例は無限個であることが分かった。