ブレイドシステムのHurwitz同値不変量の列の構成と曲面ブレイドへの応用

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カンドルの直積には，ブレイド群によるHurwitz作用が定義される。ブレイド群の直積をHurwitz作用で軌道分解することで，曲面ブレイドを完全に分類できることが知られているが，ブレイド群の直積における軌道分解は難しく未解決である。本研究は，ブレイド群の直積のHurwitz同値不変量を構成し，曲面ブレイドの未知の性質を発見することを目的としている。また，単純曲面ブレイドの1つの分岐点の周りのモノドロミーは，穴あき円盤内のコード（連結な単純曲線）と同一視できるため，単純曲線そのものの研究も必要不可欠となる。【前提1】研究代表者は，4次対称群の直積の部分集合で『長さ4』の巡回置換のみを並べてできる組の集合における軌道分解を2019年度に，『長さ3』の巡回置換のみを並べてできる組の集合における軌道分解を2020年度に遂行できている。【2022年度の成果1】上の結果の拡張として，「群（共役カンドル）Gの2つの部分カンドルS，Tについて，Sの任意の元がTのk個の元の積として（Hurwitz同値の意味で）一意的に分解できるとき，Sのn個の直積のHurwitz同値類の集合からTのkn個の直積のHurwitz同値類の集合への自然な全射が存在する」ことを示せた。この結果の曲面ブレイド以外への応用も見込まれる。【前提2】単純曲線を組み合わせ的に扱う場合，その連結成分を組み合わせ情報から求めることは「置換」のサイクル数を求めることに他ならない。2021年度は群馬大学の山本亮介氏と共同で，置換のサイクル数を代数的な仕組みにより求めるアルゴリズムを作成した。【2022年度の成果2】山本氏と2021年度に作成した置換のサイクル数を求めるアルゴリズムについて，山本氏と共同で論文にまとめるために打合せを重ねた。また，その連結成分数を組み合わせ情報のみを用いて表せるような単純曲線の族を見つけることができた。