不動点理論および空間の位相的・幾何学的構造

点击翻译按钮获取中文摘要

項目１０の雑誌論文リストに載せた論文について、その概要を述べたい。研究代表者は2001年の論文で τ-distance という距離関数を拡張した概念を導入し、さらにこの概念を用いることで完備距離空間におけるいくつかの不動点定理を拡張した。τ-distance になっている多くの例を挙げることで、単に定理を拡張するだけでなく、τ-distance という概念を通すことで、従来の不動点定理に新しい見方を与えた。τ-distance を定義するに当たり、２０以上の定義を吟味し、５つの条件からなる定義を採用した。その時点では、普遍的な概念に近いように感じていた。ところが、後の Lin と Du の研究から、τ-distance の定義に改良の余地があることが分かり、2017年に研究代表者は τ-distance をわずかに弱くした概念 τ'-distance を導入した。この概念の定義は３つの条件からなる。本論文では、その後続研究であり、３種類のタイプの不動点定理を証明している。（Ekeland の変分原理はある種の不動点定理とみなすことができる。）先行研究では τ-distance の５条件すべてを仮定していたが、本論文では、τ'-distance の３条件の内、何を仮定すれば定理が成立するのかといった細かい定理の設定も行っている。得られた結果は、Nadler 型の不動点定理は１番目と２番目の条件を、Kannan 型の不動点定理は２番目の条件を、Ekeland の変分原理に関しては、３つの条件すべてを仮定すれば定理の証明ができる、というものである。さらに、上記の条件が best possible、すなわち仮定を１つ少なくすると反例ができることも示した。そして最後に τ'-distance であるが τ-distance でない例をあげ、τ'-distance が τ-distance より真に弱い概念であることを示した。本論文により τ-distance 関連の研究は一区切りついたと思っている。