超臨界型非線形偏微分方程式の解の大域挙動

点击翻译按钮获取中文摘要

今年度は半線形熱方程式の解の正則性について高橋仁氏(東京工業大学) との共同研究を行った。特にべき乗型非線形項をもつ方程式においてSobolev優臨界の場合に解が局所的に正則となるための十分条件についての研究を進めた。類似の正則性の研究は非圧縮性Navier-Stokes方程式や幾何学的発展方程式においては古くから行われている。半線形熱方程式においてはChou, Du, Zheng(2007, Calculus of Variations and Partial Differential Equations)やBlatt, Struwe(2015, International Mathematics Research Notices)による結果があり、特に前者においてはborderline solutionと呼ばれる時間大域的弱解に対し，解のあるスケール不変な局所積分量が小さいという仮定のもとで，解が局所的に正則であるという所謂ε正則性定理が証明されている。今回我々は有限時間で発散する解の挙動を調べるために、時間大域的に定義されているとは限らない、より一般の弱解に対して考察を行い、方程式を不変とするようなスケール変換に関して不変となる臨界ノルムが有界となるような弱解に対し類似のε正則性定理を示すことに成功した。このような定理は爆発時刻における解の臨界ノルムの挙動を調べる上で重要となる。例えば今回の結果の対偶を考えることで、解の仮想的な特異点近傍におけるblow up解析においてリスケーリングされた解の列の一様な下方評価を得られるが、これは解の列の極限が非自明であることを示す際に重要な役割を果たす。