流体力学に現れる非線形偏微分方程式の調和解析の方法による研究

今年度は,非圧縮粘性流体を表す非圧縮Navier-Stokes方程式の定常問題(SNS)の研究を行った.SNSは非定常問題と同様に弱解の滑らかさや無限遠方での減衰の研究が古くから行われているが,実際の解の特異性を扱った研究は少ないように思われる.(ただし,ここでの特異点とは,流速が無限大に発散する点を意味する.)L.Landauは,軸対称性等を仮定し,SNSを常微分方程式に帰着させることにより,原点でのみ特異性を持つ特殊解の族を構成した.この解にこではLandau解と呼ぶ)は外力項として原点にデルタ関数をもつ非斉次SNSを満たす.特異性を持つような特殊解の例はあまり知られていないので,特異点の研究の第一歩としてこのような解を詳細に調べることは意義のあることと思われる.ここで,原点以外で定義された一般の解か原点で特異性を示すとしたら,その近傍ではLandau解と同じように振る舞うと予想することは自然なことと思われる.今回,報告者はブリティッシュ・コロンビア大学のTai-Peng Tsai氏との共同研究により,適切な仮定(解の大きさ等の制限)の下で,実際に解の原点近傍での挙動があるLandau解によって近似できることを証明した.今回の結果はSNSの解の特異性をLandau解によって分類すると同時に,従来のSNSに対する特異点除去定理,正則性定理をある意味で拡張しており興味深いと思われる.

今年度は,非圧縮粘性流体を表す非圧縮Navier-Stokes方程式の定常問題(SNS)の研究を行った.SNSは非定常問題と同様に弱解の滑らかさや無限遠方での減衰の研究が古くから行われているが,実際の解の特異性を扱った研究は少ないように思われる.(ただし,ここでの特異点とは,流速が無限大に発散する点を意味する.)L.Landauは,軸対称性等を仮定し,SNSを常微分方程式に帰着させることにより,原点でのみ特異性を持つ特殊解の族を構成した.この解にこではLandau解と呼ぶ)は外力項として原点にデルタ関数をもつ非斉次SNSを満たす.特異性を持つような特殊解の例はあまり知られていないので,特異点の研究の第一歩としてこのような解を詳細に調べることは意義のあることと思われる.ここで,原点以外で定義された一般の解か原点で特異性を示すとしたら,その近傍ではLandau解と同じように振る舞うと予想することは自然なことと思われる.今回,報告者はブリティッシュ・コロンビア大学のTai-Peng Tsai氏との共同研究により,適切な仮定(解の大きさ等の制限)の下で,実際に解の原点近傍での挙動があるLandau解によって近似できることを証明した.今回の結果はSNSの解の特異性をLandau解によって分類すると同時に,従来のSNSに対する特異点除去定理,正則性定理をある意味で拡張しており興味深いと思われる.