非線形偏微分方程式における解の臨界正則性と特異性

非线性偏微分方程解的临界正则性和奇异性

• 批准号: 21H00991
• 负责人: 三浦 英之
• 金额: $ 9.82万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21H00991/
• 关键词: 非線形偏微分方程式; 正則性; 特異性

今年度は冪乗型非線形項をもつ半線形熱方程式に関して高橋仁氏(東京工業大学) と共同研究を行った．本研究では方程式を不変とする自然なスケール変換に関して不変となる臨界ルベーグノルム(臨界ノルム)に着目し，解の臨界ノルムがどのように振舞うか考察を行った．ここで「滑らかな解が有限時刻で発散（爆発）するとき，臨界ノルムが発散するか？」という所謂, 臨界ノルム爆発問題は[Brezis,Cazenave, J. Anal. Math.,1996]において言及されている他，Quittner, Soupletによる著書(Birkhauser Advanced Texts,2019)においてもmost interesting and/or challenging open problemsのリストに挙げられている基本的な問題である．球対称性などを課さない場合，この問題は未解決であったが，[溝口,Souplet, Adv. Math.,2019] において解の爆発レートがtype Iであれば，臨界ノルムは発散することを示された．儀我氏らによる一連の研究により, Sobolev劣臨界の場合は爆発は常にtype Iであることが示されているので，臨界ノルムは常に発散することがわかる．本研究では[儀我,Kohn, Comm. Pure Appl. Math.,1985]によって導入された重み付きエネルギーを用いた解析や，調和写像熱流に対する[Struwe, J. Diff. Geom.(1989)]によるblow up解析のアイディアを発展することで，Sobolev優臨界の場合にtype Iの仮定がなくても爆発時刻付近において臨界ノルムが非有界になることを示した．本研究結果の系として，Sobolev優臨界の場合，臨界ノルムが有限な後方自己相似解が存在しないことが示すことができる．

This year's power type non-linear term In this study, the equation is not changed, the natural change is not changed, the critical change is not changed, the critical change is changed, and the critical change is changed. "Slippage is a finite time solution to the problem of dispersion (explosion), critical time is a problem of dispersion." [Brezis,Cazenave, J. Anal. Math., 1996] Quittner, Souplet, book (Birkhauser Advanced Texts,2019), most interesting and/or challenging open problems. In the case of ball symmetry, the problem is not solved,[Mizoguchi,Souplet, Adv. Math., 2019] In the middle of the explosion, the explosion type I is displayed, and the critical explosion type I is displayed. Sobolev's critical condition is that the critical condition is always the same as the type I condition. Kohn, Comm. Pure Appl. Math. [Struwe, J. Diff. Geom. (1989)] The blow-up analysis shows that Sobolev is optimal in critical situations where the type I is constant and the explosion time is close to the middle critical point. The results of this study show that Sobolev optimality is critical, and the existence of self-similar solutions is critical.

项目成果

Local regularity conditions on initial data for local energy solutions of the Navier-Stokes equations

纳维-斯托克斯方程局部能量解的初始数据的局部正则条件

• DOI: 10.1007/s42985-021-00127-2
• 发表时间: 2021
• 期刊: Partial Differential Equations and Applications
• 作者: Kang Kyungkeun;Miura Hideyuki;Tsai Tai-Peng
• 通讯作者: Tsai Tai-Peng

Regular sets and an epsilon-regularity theorem in terms of initial data for the Navier-Stokes equations

正则集和基于纳维-斯托克斯方程初始数据的 epsilon 正则定理

• DOI: 10.2140/paa.2021.3.567
• 发表时间: 2021
• 期刊: Pure and Applied Analysis
• 作者: Kang Kyungkeun;Miura Hideyuki;Tsai Tai-Peng
• 通讯作者: Tsai Tai-Peng