微分方程式の幾何構造とツイスター理論

今年度は渋谷一博氏(広島大学)との以下に述べる共同研究に従事した.我々は,ここ最近2変数1未知関数に対する2階の偏微分方程式系に関して,微分式系の理論による幾何学的な研究を行っているが,今年度は特に「Type-changing equation」と呼ばれる方程式系に関して研究を行った.この方程式は,2変数1未知関数の2階の(ある種の正則性条件をみたす)偏微分方程式系の中で,それらに対して定義される判別式の符号が局所的に変化するような方程式のことを言う.より詳しくいえば,双曲型,楕円型,放物型とよばれる3つの型が局所的にも混在するような方程式系である.このようなものは一見素朴ではあるが,大変複雑な構造をもち,これまで幾何学的な方向からは体系的な結果は与えられていなかった.この方程式系に関して,微分式系の理論を用いることで,我々は体系的な研究結果を与えることに成功した.特に解の研究においては,解の概念そのものからきっちり定式化し,それを用いて特殊なクラスの解の存在条件を与えることに成功した.さらに,この条件を満たす方程式,ならびび解の具体例を構成し,それがCartanにより発見された歴史的に意義深い方程式と結びつく事も判明した.これらの内容をまとめた論文T.Noda, K.Shibuya「Second order type-changing equations for a scalar function on a plane.」を現在投稿中である.

今年度は渋谷一博氏(広島大学)との以下に述べる共同研究に従事した.我々は,ここ最近2変数1未知関数に対する2階の偏微分方程式系に関して,微分式系の理論による幾何学的な研究を行っているが,今年度は特に「Type-changing equation」と呼ばれる方程式系に関して研究を行った.この方程式は,2変数1未知関数の2階の(ある種の正則性条件をみたす)偏微分方程式系の中で,それらに対して定義される判別式の符号が局所的に変化するような方程式のことを言う.より詳しくいえば,双曲型,楕円型,放物型とよばれる3つの型が局所的にも混在するような方程式系である.このようなものは一見素朴ではあるが,大変複雑な構造をもち,これまで幾何学的な方向からは体系的な結果は与えられていなかった.この方程式系に関して,微分式系の理論を用いることで,我々は体系的な研究結果を与えることに成功した.特に解の研究においては,解の概念そのものからきっちり定式化し,それを用いて特殊なクラスの解の存在条件を与えることに成功した.さらに,この条件を満たす方程式,ならびび解の具体例を構成し,それがCartanにより発見された歴史的に意義深い方程式と結びつく事も判明した.これらの内容をまとめた論文T.Noda, K.Shibuya「Second order type-changing equations for a scalar function on a plane.」を現在投稿中である.