有木-小池 代数のモジュラー表現論

Ariki-Koike algebra H_<n,r>(G(r,1,n)型の複素鏡映群に付随するcyclotomic Hecke algebra)に付随するcyclotomic g-Schur algebra ψ_<n,r>のモジュラー表現論を中心に研究した。特に,ψ_<n,r>の生成元と基本関係式による表示を与えることができた。r=1の場合,ψ_<n,1>はA型のq-Schur algebraであり,この場合は既にDoty-Giaquintoによって、ψ_<n,1>が量子群U_q(gl_m)の商代数となっている事実を利用して,生成元と基本関係式が与えられている。一般のψ_<n,r>の表示は,このr=1の場合を拡張した表示になっているが,γ〓2の場合,ψ_<n,r>は量子群の商代数となっているわけではないので,まず,量子群に変わる代数U_q=U_q(gl_m)を,gl_mのカルタンデータを用いて生成元と基本関係式によって定義し,その商代数としてψ_<n,r>を実現することによってψ_<n,r>の生成元と基本関係式を与えた。その過程で,一般のU_qの表現論に関する基本的な結果(主に,Lie環や量子群におけるhighest weight theoryの類似)も得た。今後,この表示を利用して,ψ_<n,r>のモジュラー表現論において,多くの応用が期待できる。また,G(r,p,n)型の複素鏡映群に付随するcyclotomic Hecke algebra,及びrational Cherednik algebraのcategory〓のブロックの分類が,"residue equivalence"と呼ばれるある組合せ論的な言葉で記述できることが分かった。これは,Lyle-Mathasによって知られているψ_<n,r>(及びH_<n,r>)のブロックの分類を,一般のcategory 〓(cyclotomic Hecke algebra)のブロックの分類へ拡張したものである。この分類は,これらの代数達のモジュラー表現論において基本的な問題であると同時に,今後の研究においても有用である。

Ariki-Koike algebra H_<n,r>(G(r,1,n)型の複素鏡映群に付随するcyclotomic Hecke algebra)に付随するcyclotomic g-Schur algebra ψ_<n,r>のモジュラー表現論を中心に研究した。特に,ψ_<n,r>の生成元と基本関係式による表示を与えることができた。r=1の場合,ψ_<n,1>はA型のq-Schur algebraであり,この場合は既にDoty-Giaquintoによって、ψ_<n,1>が量子群U_q(gl_m)の商代数となっている事実を利用して,生成元と基本関係式が与えられている。一般のψ_<n,r>の表示は,このr=1の場合を拡張した表示になっているが,γ〓2の場合,ψ_<n,r>は量子群の商代数となっているわけではないので,まず,量子群に変わる代数U_q=U_q(gl_m)を,gl_mのカルタンデータを用いて生成元と基本関係式によって定義し,その商代数としてψ_<n,r>を実現することによってψ_<n,r>の生成元と基本関係式を与えた。その過程で,一般のU_qの表現論に関する基本的な結果(主に,Lie環や量子群におけるhighest weight theoryの類似)も得た。今後,この表示を利用して,ψ_<n,r>のモジュラー表現論において,多くの応用が期待できる。また,G(r,p,n)型の複素鏡映群に付随するcyclotomic Hecke algebra,及びrational Cherednik algebraのcategory〓のブロックの分類が,"residue equivalence"と呼ばれるある組合せ論的な言葉で記述できることが分かった。これは,Lyle-Mathasによって知られているψ_<n,r>(及びH_<n,r>)のブロックの分類を,一般のcategory 〓(cyclotomic Hecke algebra)のブロックの分類へ拡張したものである。この分類は,これらの代数達のモジュラー表現論において基本的な問題であると同時に,今後の研究においても有用である。