シフト量子アフィン代数の表現論

前年度に引き続き, シフト量子アフィン代数の構造論, 及び表現論に関して研究した。前年度は, Ariki-Koike 代数 ((G(r,1,n)型の巡回ヘッケ代数) との間の Schur-Weyl 双対を構成し, その表現論や構造論に関する考察を行った。これは古典的な Schur-Weyl 双対, 及びその q-類似の自然な拡張となっており, シフト量子アフィン代数の表現圏における"テンソル圏" としての構造より得られるものであるが, Schur-Weyl 双対に現れるシフト量子アフィン代数の表現は(重要な部分を占めているはずであるが)非常に限られたものであるので, そこでの議論を一般の表現まで拡張するのに必要な事柄について整理を行った。まとまった結果を得るまでには至っていないが, シフト量子アフィン代数の表現圏の"テンソル圏" としての性質を調べるための方針を整理し, それらを行うのに必要となるいくつかの道具を得ることができた。また, 上記のSchur-Weyl 双対では, 限られたシフトしか用いておらず, 前年度はそのようなシフトに集中していたが, 今年度は一般のシフトに対しても, 対応すべきリー環を導入することができた。このことによって, より一般の設定でテンソル圏としての構造を調べる手段を大きく広げることができた。(一般にはリー環の表現圏の方がテンソル圏としての構造は理解しやすく, 量子群の表現圏の構造を調べる際に, 大きな手助けとなる)

前年度に引き続き, シフト量子アフィン代数の構造論, 及び表現論に関して研究した。前年度は, Ariki-Koike 代数 ((G(r,1,n)型の巡回ヘッケ代数) との間の Schur-Weyl 双対を構成し, その表現論や構造論に関する考察を行った。これは古典的な Schur-Weyl 双対, 及びその q-類似の自然な拡張となっており, シフト量子アフィン代数の表現圏における"テンソル圏" としての構造より得られるものであるが, Schur-Weyl 双対に現れるシフト量子アフィン代数の表現は(重要な部分を占めているはずであるが)非常に限られたものであるので, そこでの議論を一般の表現まで拡張するのに必要な事柄について整理を行った。まとまった結果を得るまでには至っていないが, シフト量子アフィン代数の表現圏の"テンソル圏" としての性質を調べるための方針を整理し, それらを行うのに必要となるいくつかの道具を得ることができた。また, 上記のSchur-Weyl 双対では, 限られたシフトしか用いておらず, 前年度はそのようなシフトに集中していたが, 今年度は一般のシフトに対しても, 対応すべきリー環を導入することができた。このことによって, より一般の設定でテンソル圏としての構造を調べる手段を大きく広げることができた。(一般にはリー環の表現圏の方がテンソル圏としての構造は理解しやすく, 量子群の表現圏の構造を調べる際に, 大きな手助けとなる)