ゲージ対称性を利用した古典及び量子スピングラスの解析

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本研究の目的は、スピングラスの新たな性質を見出すことと、新たな解析手法の確立にある。本年度は、特に量子スピングラスの解析を中心に行う予定であったが、最も良い成果が出たのは、イジングスピングラスと関連する系の解析的研究であった。イジングスピングラスの平均場解は、基本的にレプリカ法と呼ばれる数学的手法を用いて構成されるが、その解の構成法は発見法的で、解釈のついていない部分が多い。また、有限次元系において、レプリカ対称性の破れを始めとする平均場描像が成り立つかどうかは、スピングラス理論において非常に重要な問題でありながら、決着がついていない。我々は、レプリカ法の物理的、数学的な意味づけを試みることで、この問題の基礎付けを行った。本年の成果は、主に二つに大別される。一つはイジングパーセプトロンという、ニューロンのモデルを解析することで、レプリカ法の解構成を再考察しそれに関する示唆を得たこと、二つ目は、イジングスピングラスの振る舞いを記述する母関数の零点を、ある可解格子上で、無限サイズまで計算したことである。一つ目の成果内容をもう少し詳述すると、(1)解空間のクラスター分布を解析的、数値的に求め、それがレプリカ法での通常の仮定に反する異常な分布を示すこと、(2)有限レプリカ数での相図を描き、相転移の構造を明らかにしたこと、(3)非典型サンプルの出現確率を解析的に評価したこと、の3つとなる。これらはレプリカ法を今後運用していく上で、その解釈を明確にしてくれるという点で重要な結果である。二つ目の成果内容を要約すると、イジングスピングラスでは、温度のような基本的な変数についての零点が実軸上に連続的に分布するということが明らかになったということに尽きる。これは、スピングラス相では相転移が置き続けているということを意味し、レプリカ対称性の破れの一つの側面を示しており、重要な成果と考えられる。