ブレイド群のHurwitz作用とその応用

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ブレイドとは,何本かのひもを円筒の底面から他方の底面へ通したものである。2つのブレイドを「繋ぎ合せる」ことによりブレイド全体は群をなし,その群のことをブレイド群という。ブレイド群は,ブレイド群の直積へ自然な作用を与える。その作用をHurwitz作用と呼ぶ。Hurwitz作用を研究することは,4次元空間の中への曲面の埋め込み型を研究することへ繋がることがよく知られている。ところが,ブレイド群の直積へのHurwitz作用の問題は,ブレイド群の複雑さが故に非常に難解なものであり,現在でもこの問題を解くアルゴリズムは知られていない。そのため,ブレイド群を簡単な群に"潰して"この問題へのアプローチをする研究手法はよくされている。しかし,"潰す"ことは情報を失うことであり,以前はこの方法で得られた情報は有限個のものしか知られていなかった。そこで当該年度は,ブレイド群を対称群と無限巡回群の直積のペア(半直積)に"潰し",その組におけるHurwitz作用の様子を調べた。その結果,この"潰された"世界では,4次元空間の中の曲面の種類が多く(無限に)区別できることが分かった。特に,4つの分岐点を持つ曲面ブレイドと呼ばれる曲面の無限個の分類に成功した。4つの分岐点をもつ曲面ブレイドは,「リボン」という単純なクラスでないものが存在するか否かが未だ知られていないが,今回の無限個の分類を用いることにより,この問題の解決の強力なアプローチになるかと考える。このように,無限群に"潰す"ことで無限個の情報を得る研究は,4次元空間への曲面の研究に大きく貢献すると考える。