超離散化としてのトロピカル曲線の研究

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近年研究され始めたトロピカル幾何学と、古典的に知られている複素多様体の間の関係を調べるのが本研究の目的である。特に、トロピカル曲線上のトロピカル積分理論と、複素曲線(Riemann面)上のAbel積分の理論の間の対応を研究した。成果として、Riemann面の1パラメータ族上のAbel積分の超極限が、あるトロピカル曲線上のトロピカル積分を用いて簡単に表現できることを証明した。一般に、Riemann面上のAbel積分を計算することは容易ではないが、トロピカル曲線上の積分を計算するのは非常に容易である。この定理は、Abel積分に関する様々な問題に応用できるものと期待する。応用の一つとして、超離散可積分系の初期値問題の解法が挙げられる。超離散可積分系とは、離散可積分系という名で知られている「解ける方程式」に、特殊な極限操作(超離散化)を施して得られる方程式である。超離散可積分系は、トロピカルsemifield上の漸化式の形をしており、その初期値問題の解法に、トロピカル曲線の理論が登場する。本研究では、超離散可積分方程式の中でも最も一般的な周期的超離散KP方程式を扱った。この方面での主な成果は以下である:1)離散KP方程式に超離散化を施し、超離散KP方程式を導出した。超離散KP方程式は、2次元箱玉系とも呼ばれる。2)周期的超離散KP方程式の初期値問題を解いた。解法の要点は、(古典的に知られている)「離散KP方程式と複素曲線の関係」を超離散化し、「超離散KP方程式とトロピカル曲線の関係」という構図を導くことにある。ここに前述の定理を用いたのである。