ランダムウォークトレース上のランダムウォークの研究

非交叉条件付けの下でのふたつのランダムウォークの研究を行った。まず、2次元および3次元の場合、ふたつの独立なランダムウォークの軌跡が交叉する確率は1なので非交叉条件付き両側ランダムウォークの構成が最初の問題となる。ブラウン運動に対しては、対応する対象はすでにLawlerによって構成されている。しかしながらその構成においてブラウン運動のスケーリング則を本質的に用いているためそれをそのままランダムウォークの場合に適応することはできない。この困難をブラウン運動の軌跡との強い近似を用いることによって、克服し非交叉条件付けの下でのランダムウォークの構成を2次元および3次元の場合に行った。次に問題になるのは、その性質である。交叉しないという条件付けがランダムウォークの軌跡の構造にどのような影響をもたらすかを明確にすることが重要になる。最も重要な性質としては非再帰性が増すというものである。交叉してはならないのでいったん出発地点から離れるとそこに戻りにくくなるのである。この非再帰性を用いて条件付きランダムウォークは無限個の大域的分離点を持つことを証明した。つまり軌跡はお互いに交わらない無限個のビーズのつなぎ合わせになるのである。そしてこの大域的分離点がボトルネックの役割を果たし、軌跡上のランダムウォークの劣拡散性を証明した。最後に各ピースの定常性と混合性を証明した。この定常性および混合性が非交叉条件付きランダムウォークの本質的な性質である。

非交叉条件付けの下でのふたつのランダムウォークの研究を行った。まず、2次元および3次元の場合、ふたつの独立なランダムウォークの軌跡が交叉する確率は1なので非交叉条件付き両側ランダムウォークの構成が最初の問題となる。ブラウン運動に対しては、対応する対象はすでにLawlerによって構成されている。しかしながらその構成においてブラウン運動のスケーリング則を本質的に用いているためそれをそのままランダムウォークの場合に適応することはできない。この困難をブラウン運動の軌跡との強い近似を用いることによって、克服し非交叉条件付けの下でのランダムウォークの構成を2次元および3次元の場合に行った。次に問題になるのは、その性質である。交叉しないという条件付けがランダムウォークの軌跡の構造にどのような影響をもたらすかを明確にすることが重要になる。最も重要な性質としては非再帰性が増すというものである。交叉してはならないのでいったん出発地点から離れるとそこに戻りにくくなるのである。この非再帰性を用いて条件付きランダムウォークは無限個の大域的分離点を持つことを証明した。つまり軌跡はお互いに交わらない無限個のビーズのつなぎ合わせになるのである。そしてこの大域的分離点がボトルネックの役割を果たし、軌跡上のランダムウォークの劣拡散性を証明した。最後に各ピースの定常性と混合性を証明した。この定常性および混合性が非交叉条件付きランダムウォークの本質的な性質である。