ランダムウォークの軌跡に関連する諸問題の研究

私の指導する学生である渡辺聡美氏との共同研究において、３次元一様スパニングツリー上のランダムウォークの熱核に対する精密な評価を行った。得られた結果とその背景に関して詳しく説明する。３次元一様スパニングツリー上のランダムウォークの研究に関しては、Angel氏、Croydon氏、Hernadez-Torres氏らとの共同研究において、スペクトル次元の値が３次元ループ除去ランダムウォークの成長指数を用いて与えられている状況であった。しかしながら、熱核がリーディングオーダーの周りで振動しているのか否かは不明な状態であり、それを調べるには３次元一様スパニングツリーのより詳細な構造を理解する必要があった。こうした状況の中、渡辺氏との共同研究で熱核が実際に振動していることを示すことができた。こうした熱核の振動現象はランダムグラフ上のランダムウォークに対してしばしば観察される現象であり、Galton-Watson木や２次元一様スパニングツリーに関しては既に振動することが証明されていた。いかなるランダムグラフに対して、熱核が振動するか否かを調べる問題は興味深い未解決問題として残されたままである。また、ツリー以外のランダムグラフであって、同様の振動現象を引き起こす例を挙げることも今後の課題である。高次元における臨界パーコレーションクラスターに対しては、スペクトル次元も求められており、恐らく熱核も振動するのではないかと考えているが、まだその証明には至っていない。これもまた今後の課題といえよう。

私の指導する学生である渡辺聡美氏との共同研究において、３次元一様スパニングツリー上のランダムウォークの熱核に対する精密な評価を行った。得られた結果とその背景に関して詳しく説明する。３次元一様スパニングツリー上のランダムウォークの研究に関しては、Angel氏、Croydon氏、Hernadez-Torres氏らとの共同研究において、スペクトル次元の値が３次元ループ除去ランダムウォークの成長指数を用いて与えられている状況であった。しかしながら、熱核がリーディングオーダーの周りで振動しているのか否かは不明な状態であり、それを調べるには３次元一様スパニングツリーのより詳細な構造を理解する必要があった。こうした状況の中、渡辺氏との共同研究で熱核が実際に振動していることを示すことができた。こうした熱核の振動現象はランダムグラフ上のランダムウォークに対してしばしば観察される現象であり、Galton-Watson木や２次元一様スパニングツリーに関しては既に振動することが証明されていた。いかなるランダムグラフに対して、熱核が振動するか否かを調べる問題は興味深い未解決問題として残されたままである。また、ツリー以外のランダムグラフであって、同様の振動現象を引き起こす例を挙げることも今後の課題である。高次元における臨界パーコレーションクラスターに対しては、スペクトル次元も求められており、恐らく熱核も振動するのではないかと考えているが、まだその証明には至っていない。これもまた今後の課題といえよう。