パンルヴェ系の理論の深化とその応用

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本年度は,離散パンルヴェ方程式のパラメータが特殊な値をとるときに現れる特殊解と直交多項式との関係を中心に研究を行った.前年度までに,連続極限で第四パンルヴェ方程式に帰着するq-差分タイプの離散パンルヴェ方程式(q-P4)の特殊解を構成し,その解をq-直交多項式の規格化因子によって表すことに成功していた.通常は1つの直交多項式によって離散パンルヴェ方程式の解は表されるのだが,私が構成した解は2つの直交多項式によって表されていることが分かった.本年度は,このような非自明な構造を持つ離散パンルヴェ方程式の特殊解を構成する一般的な方法を構築する研究を行った.私が構成したq-P4の特殊解に現れる2つの直交多項式はクリストッフェル変換と呼ばれる直交多項式の変換によって関係付けられていることが分かった.そこで,直交多項式の性質とクリストッフェル変換によって構成される2つの直交多項式の関係について研究することで,2つの直交多項式を使った離散リッカチ方程式の解を構成することができた.一般に離散パンルヴェ方程式はパラメータが特殊値をとるときに,離散リッカチ方程式に帰着する特殊解を持つことが知られている.このことから離散リッカチ方程式を介して2つの直交多項式から離散パンルヴェ方程式の特殊解を構成する方法を構築できることが分かった.また,研究の動機となったq-P4の特殊解もこの方法によって再構築ができることを示した.また,山形大学の西岡斉治氏との連続極限でD7型の初期値空間を持つ第三パンルヴェ方程式に帰着するq一差分タイプの離散パンルヴェ方程式に関する共同研究「Solutions to a q-analog of the Painleve III equation of type D7(1)」をまとめ論文誌に投稿し受理されることができた.