離散可積分系の背後にある幾何学的構造の解明

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本年度は，可積分な2次元偏差分方程式の理論について，以下の2つの研究を行なった。(1) dKdV方程式のCAC propertyの解明：浅水波の数理モデルであるKdV方程式の離散類似として広田の離散KdV方程式（以下，dKdV方程式とよぶ）が知られている。dKdV方程式のような Q(u(l,m),u(l+1,m),u(l,m+1),u(l+1,m+1))=0 の形で与えられる可積分な2次元の偏差分方程式には，Consistency around a cube (CAC) propertyを持つものが存在する。しかし，dKdV方程式がCAC propertyを持つか否かは知られていなかった。本研究では，dKdV方程式のConsistency around a broken cube (CABC) propertyを用いて，dKdV方程式がCAC propertyを持つことを示した。本年度は，この研究成果をまとめて論文誌に投稿した。(2) CAC propertyを持つ高次元偏差分方程式系からパンルヴェ型の高階常差分方程式系への簡約化:変形KdV方程式の離散類似としてlattice modefied KdV (lmKdV)方程式が知られている。また，lmKdV方程式の極限操作で得られる可積分な偏差分方程式としてBollのD4方程式がある。lmKdV方程式とD4方程式の組み合わせによりCAC propertyを持つ高次元の偏差分方程式系が構成できる。本研究では，その高次元偏差分程式系に周期簡約を課すことで，A6型およびA4型曲面上の離散パンルヴェ方程式を2階の場合として持つパンルヴェ型の高階常差分方程式系を構成した。また，得られた方程式系のLax pairおよびaffine Weyl 群対称性を構成した。本年度は，この研究成果をまとめて論文誌に投稿した。