離散可積分系の背後にある幾何学的構造の解明

阐明离散可积系统背后的几何结构

• 批准号: 19K14559
• 负责人: 中園 信孝
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Tokyo University of Agriculture and Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K14559/
• 关键词: 離散可積分系; 離散KdV方程式; 立方体上のコンシステンシー; 離散パンルヴェ方程式; 可積分系; 離散kdV方程式; 離散サインゴルドン方程式; ガルニエ系; ABS方程式; 立方八面体上のコンシステンシー; 離散ソリトン方程式

本年度は，可積分な2次元偏差分方程式の理論について，以下の2つの研究を行なった。(1) dKdV方程式のCAC propertyの解明：浅水波の数理モデルであるKdV方程式の離散類似として広田の離散KdV方程式（以下，dKdV方程式とよぶ）が知られている。dKdV方程式のような Q(u(l,m),u(l+1,m),u(l,m+1),u(l+1,m+1))=0 の形で与えられる可積分な2次元の偏差分方程式には，Consistency around a cube (CAC) propertyを持つものが存在する。しかし，dKdV方程式がCAC propertyを持つか否かは知られていなかった。本研究では，dKdV方程式のConsistency around a broken cube (CABC) propertyを用いて，dKdV方程式がCAC propertyを持つことを示した。本年度は，この研究成果をまとめて論文誌に投稿した。(2) CAC propertyを持つ高次元偏差分方程式系からパンルヴェ型の高階常差分方程式系への簡約化:変形KdV方程式の離散類似としてlattice modefied KdV (lmKdV)方程式が知られている。また，lmKdV方程式の極限操作で得られる可積分な偏差分方程式としてBollのD4方程式がある。lmKdV方程式とD4方程式の組み合わせによりCAC propertyを持つ高次元の偏差分方程式系が構成できる。本研究では，その高次元偏差分程式系に周期簡約を課すことで，A6型およびA4型曲面上の離散パンルヴェ方程式を2階の場合として持つパンルヴェ型の高階常差分方程式系を構成した。また，得られた方程式系のLax pairおよびaffine Weyl 群対称性を構成した。本年度は，この研究成果をまとめて論文誌に投稿した。

This year, we can integrate the theory of two-dimensional deviation equation, and the following two studies are carried out. (1)The solution of CAC property of dKdV equation: The mathematical model of shallow water wave and the discrete KdV equation (hereinafter, dKdV equation) dKdV equation Q(u(l,m),u(l+1,m),u (l,m +1),u(l+1,m+1))=0 The equation dKdV is the CAC property. In this study, the Consistency of the dKdV equation around a broken cube (CABC) property is shown. This year, the research results are published in the journal. (2)CAC property maintains high dimensional deviation equation system, high order ordinary difference equation system and reduction: discrete similarity of variable KdV equation and lattice modified KdV (lmKdV) equation. The limit operation of the lmKdV equation is derived from the integrable deviation equation and Boll's D4 equation. lmKdV equation and D4 equation are composed of CAC property and high-dimensional deviation equation system. In this paper, we study the periodic reduction of high order differential equations on A6-type and A4-type surfaces, and construct a system of high order ordinary difference equations. The Lax pair and affine Weyl group symmetry of the equation system are obtained. This year, the research results are published in the journal.

项目成果

Properties of the Non-Autonomous Lattice Sine-Gordon Equation: Consistency around a Broken Cube Property

非自治格正弦戈登方程的性质：破碎立方体性质的一致性

• DOI: 10.3842/sigma.2022.032
• 发表时间: 2022
• 期刊: Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications
• 作者: Nakazono Nobutaka

Special solutions to the multiplicative type discrete KdV equation

乘法型离散KdV方程的特解

• 发表时间: 2021
• 作者: Joshi Nalini;Kajiwara Kenji;Masuda Tetsu;Nakazono Nobutaka;中園 信孝;中園 信孝;中園 信孝
• 通讯作者: 中園 信孝

Reduction of quad-equations consistent around a cuboctahedron I: Additive case

围绕立方八面体 I 一致的四元方程的约简：加法情况

• DOI: 10.1090/bproc/96
• 发表时间: 2021
• 期刊: Proceedings of the American Mathematical Society, Series B
• 作者: Joshi Nalini;Nakazono Nobutaka
• 通讯作者: Nakazono Nobutaka

Discrete power functions on a hexagonal lattice I: derivation of defining equations from the symmetry of the Garnier system in two variables

六角晶格上的离散幂函数 I：从两个变量的卡尼尔系统的对称性推导定义方程

• DOI: 10.1088/1751-8121/ac11bd
• 发表时间: 2021
• 期刊: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
• 作者: Joshi Nalini;Kajiwara Kenji;Masuda Tetsu;Nakazono Nobutaka
• 通讯作者: Nakazono Nobutaka

Special solutions to the multiplicative type Hirota's dKdV equation

乘法型 Hirota dKdV 方程的特殊解

• 发表时间: 2022
• 作者: Joshi Nalini;Kajiwara Kenji;Masuda Tetsu;Nakazono Nobutaka;中園 信孝;中園 信孝
• 通讯作者: 中園 信孝