通信路分極現象に基づいた誤り訂正符号とその復号法

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Polar符号やLDPC符号などを含む一般のグラフィカルモデルであるファクターグラフについて研究した。ファクターグラフの分配関数の計算は様々な分野で中心的な問題であり、LDPC符号の周辺事後確率の計算や制約充足問題の解の個数の数え上げなどにあたるものである。分配関数の計算には一般に指数の時間が必要であるが、効率的で精度のよい近似としてべーテ近似が統計物理の分野で知られている。またべーテ近似はヒューリスティックな近似法として情報理論でもよく知られている確率伝搬法と関わりがあることが最近知られている。2006年に分配関数のべーテ近似と真の分配関数との間にある厳密な等式がChertkovとChernyakによって得られた。この等式は分配関数のべーテ近似と真の分配関数の比が一般化ループと呼ばれる構造に関する和として表現されている。この結果はアルファベットが2元の場合にのみ得られていて多元へ一般化する場合には等式が一つに定まらないという問題があった。我々はこの問題を解決して等式の多元アルファベットへの一般化を得た。その際に等式を一つに定めることなく等式を情報幾何の道具を使って表現しており、等式の自由度は「指数型分布族における十分統計量の選び方」という形で表されている。この等式はべーテ近似の誤差の評価及びべーテ近似の改善の両方の面から有用であると考えられる。また一方でべーテ近似の新しい改善として漸近ベーテ近似を提案した。これは2010年にVontobelによって得られたグラフカバーに基づくべーテ近似の特徴付けをより詳細に考察することによって得られたものである。漸近べーテ近似とは分配関数の通常のべーテ近似と真の分配関数の比をエッジゼータ関数によって近似することである。エッジゼータ関数は大偏差原理のより詳細な解析と渡辺、福水らによるべーテ自由エネルギーのヘシアン行列の行列式の解析から導かれるものである。上の一般化された等式によって漸近べーテ近似の評価をすることができ、エッジゼータ関数は一般化ループの中でも特に単純なものをすべてのグラフカバーについて数え上げていることが分かった。その結果ある条件の下では通常のべーテ近似よりも精度のよい近似となっていることが分かった。漸近べーテ近似は統計物理、情報理論、計算機科学などべーテ近似が用いられる様々な場面で使うことができるためそれらへの応用を考えていきたい。