非線形波動方程式の超臨界大域解析

点击翻译按钮获取中文摘要

エネルギー臨界かつ吸引性の幕を持つ非線形Schrodinger方程式に対して、基底状態よりもエネルギーが大きい場合、即ち超臨界エネルギーの場合を含めた解の大域挙動分類を行った。結果としてエネルギーが基底状態を大きく超えない範囲での球対称解の挙動は、最大存在時間近くで基底状態近傍に留まるか、時刻無限大で散乱するか、有限時刻で爆発する事を示した。更に、散乱から爆発へ遷移する解集合はエネルギー空間で内点を持つ事も示した。これらは、エネルギー臨界波動方程式に対するKrieger-Schlag-Nakanishiの初期の結果と同様だが、その議論においては基底状態近傍から一旦離れて戻ってくる解の非存在証明が鍵となり、そのために、時空局在化したvirial等式からある種の単調性評価を導く必要がある。エネルギー臨界のSchrodinger方程式では、基底状態の遅い空間減衰とスケール不変性による凝縮現象と無限伝播速度の組み合わせが単調性評価に困難を齎すが、そのような場合でも非存在証明ができるよう解析手法を拡張した。また、同じ非線形項のKlein-Gordon方程式に対しても同様の分類結果を得た。Klein-Gordonの場合は有限伝播性は有るが、定常状態が存在せず、エネルギー集約極限の無限遠点として波動方程式の基底状態が挙動変化の分岐点を示す。このためエネルギー空間における解の分類形状は位相的に異なるが、波動方程式の基底状態への無質量波動エネルギーでの距離と質量エネルギーの和をKlein-Gordon方程式での極限基底状態への距離尺度として採用し、同様の議論ができる事を示した。また上記の再帰軌道の非存在については質量エネルギーの存在が類似の困難を引き起こすが、拡張した解析法を用いて解決した。