非線形波動方程式のエネルギー集約評価と時空大域的解析

非线性波动方程的能量密集评估和时空全局分析

• 批准号: 12740091
• 负责人: 中西 賢次
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2000 至 2001
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-12740091/
• 关键词: 非線形Klein-Gordon方程式; 非線形Schrodinger方程式; 非相対論極限; 一様大域評価; 散乱理論; Strichartz評価; Lorentz空間

本年度は,非線形波動の時空大域解析を汎用化する目的で二つの方向から研究を行った。一つは非線形Klein-Gordon及びSchrodinger方程式に関して,非相対論極限の観点から二つの方程式を統合することで理論の発展を図るとともに,物理学でのこの種の特異極限に関して,特に大域的な極限移行に,数学的根拠を与える事である。二つ目は,エネルギー分布の観点からの解析が未開発な,低次幕の非線形項を持つ方程式に関して従来の重みつき空間における解析の再検討と整備である。第一の研究の成果としては,二つの方程式の時空大域解析を完全に統合し,結果として,非相対論極限における解のエネルギー強収束,時空ノルムの一様大域評価などを得た。当研究の目標からして特筆すべき事は,正負電荷が混在する場合においては質量エネルギーを繰り込む手段がないにも拘らず,中間的近似方程式の大域解析を経由する事で非相対論エネルギーの一様有解性を得たことである。時空大域解析の弱点は,鍵となる三種の先験評価が方程式に強く依存する事だが,ここでは先験評価が得られない状況で大域解析に成功しており,さらなる発展が期待される。ただしSobolev臨界指数の場合は未解決であって今後の重要な課題である。第二の研究の成果としては,非線形Schrodinger方程式に関して,時間減衰を取り扱うには従来の時空Lebesgue空間よりも,時間に関して(p,2)型Lorentz空間を用いた方が良い事を見出し,それによって重みつき空間でのStrichartz評価とソボレフ空間での同評価が完全な対称性を顕わす事を示した。結果として大域解の存在や散乱理論をいくつかの臨界的な場合へ拡張したが,時空大域的解析との統合は今後の課題として残されている。

This year, non-linear fluctuations in the spatiotemporal domain analysis of the general purpose of the two directions to conduct research. The first one is related to the nonlinear Klein-Gordon and Schrodinger equations, and the second one is related to the integration of the two equations from the point of view of the non-relativistic limit. This will lead to the development of the theory, and the specific limits of this kind in physics are related, especially when the limits of large domains are moved, the roots of mathematics are involved. Second, the analysis of the distribution of the distribution of the two items has not been developed, the non-linear term of the low order has been maintained in the equation, and the analysis has been re-examined. The results of the first research are that the two equations are completely integrated into the space-time large-domain analysis, and the results are that the non-coherent limit solution is strongly coupled, and the space-time large-domain evaluation is obtained. When the purpose of the study is to solve the problem, the negative charge is mixed, the mass is mixed, the method is mixed, and the approximate equation in the middle is solved. The weakness of space-time domain analysis is that there are three kinds of pre-evaluation equations, which are strongly dependent on each other. Sobolev critical index is an important issue in the future. The results of the second study are related to the nonlinear Schrodinger equation, the time decay is related to the space-time Lebesgue space, the time is related to the Lorentz space of (p,2) type, and the perfect symmetry is shown. As a result, the existence of large-scale solutions and scattered theories have become increasingly critical, and the analysis and integration of large-scale space-time solutions have become a topic in the future.

项目成果

K.Nakanishi: "Asymptotically free solutions for short range nonlinear Schrodinger equation"SIAM J.Math.Anal. (印刷中).

K. Nakanishi：“短程非线性薛定谔方程的渐近自由解”SIAM J.Math.Anal（正在出版）。

K.Nakanishi: "Global solutions for nonlinear Schrodinger equations with arbitrarily growing nonlinearity and contracted initial data."Kyushu J.Math. (印刷中).

K. Nakanishi：“非线性薛定谔方程的全局解，具有任意增长的非线性和收缩的初始数据。”Kyushu J.Math。