非可換代数幾何学や表現論に現れる三角圏の研究

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本研究課題は非可換代数幾何学や表現論に現れる三角圏を研究することを目的としている. 昨年度までに得られていた研究成果によって, 非可換次数付き孤立特異点という研究対象が非可換代数幾何学的にも表現論的にも重要な研究対象であることが分かっていた. そこで本年度は非可換次数付き孤立特異点の研究をより推進させることを目標に, その周辺に現れる様々な代数や圏の考察を行った.一つ目の研究では, 直既約次数付き極大Cohen-Macaulay加群が同型と次数のシフトを除いて有限個である(有限CM表現型)AS-Cohen-Macaulayalgebraが非可換次数付き孤立特異点になることを証明した. これはよく知られたAuslanderの定理の非可換次数付き類似であり, またJorgensenによって得られていた結果のFBNという仮定を外した一般化である. Auslanderの定理は可換環論や表現論で非常に重要な役割を担っているため, 今回の研究結果やその証明手法は非可換次数付き孤立特異点の研究においても重要な役割を果たすと考えられる. また, domainでない有限M表現型AS-Gorensteinalgebraの例を与え, その直既約次数付き極大Cohen-Macaulay加群の同型類も具体的に与えた.二つ目の研究は静岡大学の毛利出氏との共同研究である. AS-regularalgebraに有限群を作用させて得られる不変式環の非可換射影スキームの導来圏を考察するため, 群作用がampleであるという概念を導入した. そしてまずAS-regularalgebraに作用する有限群がampleであることと, その不変式環が非可換次数付き孤立特異点になることが密接に関係していることを示した. さらにAS-regularalgebraにampleな有限群が作用しているならば, その不変式環の非可換射影スキームの導来圏がある有限次元代数の加群圏の導来圏で実現されることを示した.