領域変形と反応拡散方程式の解構造

1.単連結でない2次元領域上のLiouvile-Ge1'fand方程式の解構造小さい穴を持つ2次元領域上のLiouvile-Ge1'fand方程式について,分岐図式における解構造の研究を行った.まず,外径に対し内径が非常に小さい円環領域を考察し,その領域上の非球対称解の構造を明らかにした.非球対称解に関する既存の研究によって,球対称解からの局所分岐と分岐パラメータが小さい場合の爆発解の存在が知られていたが,本研究の成果は,局所分岐によって現れる非球対称解が分岐図式上で爆発解と繋がるという大域的な情報を与える.また,より一般の小さい穴のある領域上で,穴の近くに1点最大値を取る解の構造について考察した.このときもし,穴を取り除いた領域上のRobin関数の勾配が穴のあいた点で消えないならば,1点爆発解につながる解の大域的な枝が分岐図式上に存在することを示した.2.区間上の双安定反応拡散方程式の定常解構造空間非一様な拡散係数を持つ1次元区間上の双安定反応拡散方程式について,その定常解構造の研究を行った.特に,拡散係数が区間内のごく狭い範囲で非常に小さいという特異極限下で問題を考察した.まず,接合漸近展開法を用いた形式的な議論と計算によって,その極限において現れるべき極限問題が何かを特定した.さらに,反応項などに対する対称性の仮定の下,不安定な定数解から分岐する極限問題の解の追跡を行った.特に2次分岐点の存在やその個数を調べることで,極限問題の分岐図式における大域的な解構造を部分的に明らかにした.この結果から,拡散係数の空間非一様性に起因する,安定な非定数定常解の分岐による発生メカニズムについて示唆が与えられる.

1.単連結でない2次元領域上のLiouvile-Ge1'fand方程式の解構造小さい穴を持つ2次元領域上のLiouvile-Ge1'fand方程式について,分岐図式における解構造の研究を行った.まず,外径に対し内径が非常に小さい円環領域を考察し,その領域上の非球対称解の構造を明らかにした.非球対称解に関する既存の研究によって,球対称解からの局所分岐と分岐パラメータが小さい場合の爆発解の存在が知られていたが,本研究の成果は,局所分岐によって現れる非球対称解が分岐図式上で爆発解と繋がるという大域的な情報を与える.また,より一般の小さい穴のある領域上で,穴の近くに1点最大値を取る解の構造について考察した.このときもし,穴を取り除いた領域上のRobin関数の勾配が穴のあいた点で消えないならば,1点爆発解につながる解の大域的な枝が分岐図式上に存在することを示した.2.区間上の双安定反応拡散方程式の定常解構造空間非一様な拡散係数を持つ1次元区間上の双安定反応拡散方程式について,その定常解構造の研究を行った.特に,拡散係数が区間内のごく狭い範囲で非常に小さいという特異極限下で問題を考察した.まず,接合漸近展開法を用いた形式的な議論と計算によって,その極限において現れるべき極限問題が何かを特定した.さらに,反応項などに対する対称性の仮定の下,不安定な定数解から分岐する極限問題の解の追跡を行った.特に2次分岐点の存在やその個数を調べることで,極限問題の分岐図式における大域的な解構造を部分的に明らかにした.この結果から,拡散係数の空間非一様性に起因する,安定な非定数定常解の分岐による発生メカニズムについて示唆が与えられる.