代数多様体上の有理曲線に関する新視点による研究

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有理曲線で覆われる代数多様体に対し、その覆われ具合を初めとして多角的な視点で考察する事を研究の目的としている。特に、ファノ多様体という代数多様体は、極小モデル理論の観点から極めて重要な代数多様体であり、ファノ多様体に対しての研究を多く行った。まず、ファノ多様体上の有理曲線の次数に関する、一般向井予想と呼ばれる予想に対し、私はその予想をより精密に定式化し、4次元以下のファノ多様体に関しての完全な解答を与えた。また、(非特異な)ファノ多様体の自然な拡張である可約ファノ多様体、つまり「単純正規交叉ファノ多様体」、及びその既約成分とのりしろの組の「対数的ファノ多様体」についての基礎理論、特にピカール数の評価について多く論じた。特に、対数的ファノ多様体に関する一般向井予想が、通常のファノ多様体に関する一般向井予想から従うということを証明した。また、ファノ多様体は複素幾何側からもよく研究されているが、与えられたファノ多様体にケーラー・アインシュタイン計量が入るかどうかという基本的な問題に対し、スロープ安定性という観点から取り組んだ。そしてHwang-Kim-Lee-Park氏の先行研究や尾高悠志氏との議論等から、ファノ多様体の曲線や因子に沿ったスロープ安定性についての満足のいく回答を与えた。また、対数的デルペッツォ曲面、これは高々商特異点しか持たないような2次元ファノ多様体のことだが、私は明治大学の安武和範氏との共同研究や議論そして中山昇氏の先行研究等をもとに、対数的デルペッツォ曲面を全て分類するアルゴリズムを与え、更に分数的指数の大きいもの・指数が3のもの・そして体積の大きいものを全て分類することに成功した。また、可約ファノ多様体の研究からの動機で、可約な代数多様体上に良いモデルを作るという問題についても考察し、どんな重正規対に対しても、その上の半標準モデルや半端末モデルが存在することを証明した。