非可換代数幾何学と有限次元代数の表現論の導来圏を用いた総合的研究

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研究目的は環の導来圏の局所化の理論を整備し、それを非可換代数幾何学の研究に応用することにあった。特にn無限表現型(またはn極端Fano代数)と呼ばれるクラスの有限次元代数のn+1前射影的代数を同次座標環とする非可換射影スキームの導来圏を研究することを目標としていた。研究はまず一般論の整備から始めると予定していた。その第一段階と導来ガブリエル位相というものを導入した。ガブリエル位相は環の局所化の理論では中心的な役割を果たしていたのであるが、導来圏の局所化の理論においては定義されていなかった。その原因は導来圏(もっと一般に三角圏)では部分対象という概念が上手く機能しない事にあったと思われる。私はそれを乗り越えるアイデアを得て導来ガブリエル位相を定義した。導来ガブリエル位相の一般論を整備し、導来ガブリエル位相付きの加群の圏はモデル構造を持つことを示した。これは今後の研究の基礎になるであろう結果である。更に導来ガブリエル位相の観点から発想を得て、導来二重双対の自己言及的(tautological)なホモトピー極限による記述を得た。これは古典的な環論におけるランベクの定理の導来圏版と見倣せるが、元の定理にあった条件や仮定がすべて外せて、全く一般的でしかも単純な記述が得られることが特筆すべき点である。導来二重双対に関する三つの定理、1完備化定理、2.局所化定理、3.Koszul双対は一見無関係な定理の様であるが、このランベクの定理の導来圏は一般化と統一的な証明を与える。導来ガブリエル位相の観点からは三つの定理は然るべき導来ガブリエル位相に関する完備性の帰結であると言える。一般化することにより完備化定理は非可換環にも適用出来るようになり、それによりn+1前射影的代数の非可換射影スキームの局所的な構造を記述する環が導来二重双対で得られる事を示した。