量子展開環の組合せ論的表現論とDirichlet級数の研究

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柏原によって導入された量子アフィン展開環上のレベル・ゼロextremalウェイト加群、及びそれらが持つ結晶基底は、量子アフィン展開環の有限次元表現論と密接に関連し、可積分系等への重要な応用を持つ。しかし、extremalウェイト加群の結晶基底に対する明示的な実現方法は、特殊な場合を除きほぼ知られておらず、組合せ論的表現論における重要な未解決問題の1つであった。平成25年度は、LittelmannによるLS path mode1を精密化した, semi-infinite LS path modelを導入し、それらのなすクリスタルがレベル・ゼロextremalウェイト加群の結晶基底に対する明示的な実現を与えることを示した。Semi-infinite LS pathの構成には、semi-infinite旗多様体の幾何学から取り出される組合せ論的構造(semi-infinite Bruhat graph)が利用されるが、sei-infinite旗多様体は、アフィンLie環の臨界レベルの表現論、半単純代数群のモジュラー表現論, 1の巾根における量子展開環の表現論等と密接な関係を持つことが知られている。従って、本研究結果は、これらの表現論と、量子アフィン展開環のレベル・ゼロ表現論との間に密接な関係が存在することを示唆する重要なものであると考えられる。また、本研究結果は、アフィンGrassmann多様体の同変homology(環)と、旗多様体の同変small quantum cohomology(環)との間の同型を主張するPetersonの同型定理に対する表現論的類似とも見なすことができるので、本研究結果の、関連するSchubert calculusへの応用も今後期待できる。