超離散可積分方程式系の保存量と一般解の研究

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種々の離散方程式系において、ソリトン解(相互作用の前後で形を変えずに進む波)と非ソリトン解(背景解)の性質の違いを明らかにし、可積分系と呼ばれる、非線形であるが高度な対称性等のよい性質を持つ方程式群の一般解を求め、また系の普遍的な性質を示す保存量を構成することを目標として研究を行い、複数の新規の結果を得ることができた。昨年度は、主に箱玉系と呼ばれる超離散可積分方程式系に関して、既知のソリトン解と未解決な点の多い「背景解」の性質の違いを明らかにするとともに、ソリトン解と背景解の具体的な混合解の構成を行ったが、本年度はさらに研究を進め、各種の離散可積分系および非可積分系の性質を直接用いた超離散系(セルオートマトン)の性質の究明を行った。具体的には本年度は、離散KdV方程式および非線形離散シュレディンガー方程式について、各系が有限体上に値をとる場合の問題点を考察し、周期境界条件およびSpiral境界条件の元で初期値問題の解決を行った。有理数体をp進距離によって完備化して構成されるp進数体上での方程式およびその還元(整数に対して素数pで割った余りを取り出すことに対応する剰余操作)を扱うことで、実際に有限体上の力学系の時間発展を構成することに成功し、結果が複数の査読付き雑誌に掲載された。有限体上の離散KdV方程式系や離散パンルヴェ方程式系を定義し、その特殊解を有限体上で構成するとともに、セルオートマトンおよび超離散系との対応を構成することができた。本研究の意義は、有限体上の離散方程式を通じて超離散方程式を研究するという新規の手法を提案したことである。本手法により超離散方程式の背景解およびソリトン解の性質に関して、既知の離散方程式に関する性質を直接用いることができるようになるとともに、超離散方程式に特有の新たな知見を得ることもできた点に意義があった。