代数力学系の手法による離散可積分系とセルオートマトンの研究

本年度は離散力学系を定義する際に生じる特異点分布を研究した。特に、1次元の発展をもつQRT写像（Quispel-Roberts-Thompson mappings）および、2次元格子状の発展をもつ離散KdV方程式について、無限大や不定性がどのような場所に出現するかを調べた。定式化のため、クラスター代数理論におけるローラン現象（Laurent phenomenon、ある種の離散方程式について、方程式の解が初期変数のローラン多項式になるという現象）と、可積分性の関係を利用した。取り扱った方程式は双線形形式においてはローラン現象をもつので、一般項のローラン多項式の因数分解を行い、相異なる2つの項が共通因子を持つかどうかを調査した。この結果、QRT写像（の一種）と離散KdV方程式について、その一般項が既約なローラン多項式であり、従って相異なる2項は、互いに素である（つまり初期変数の単項式以外の共通因子を持たない）ことを証明できた。本年度の主たるテーマはこのような「互いに素」(co-prime条件)を調査し、離散力学系の可積分性との関連を研究することであった。2項が互いに素である性質によって、その2項は同時に特異点には成り得ないことが分かるため、従来の可積分性判定基準「特異点閉じ込めテスト（singularity confinement test）」の代数的な定式化であることがわかった。一方、本手法で既約性を証明するには、方程式ごとに個別の議論を行う必要があり、離散系の形によらない手法の発見が今後の課題である。

本年度は離散力学系を定義する際に生じる特異点分布を研究した。特に、1次元の発展をもつQRT写像（Quispel-Roberts-Thompson mappings）および、2次元格子状の発展をもつ離散KdV方程式について、無限大や不定性がどのような場所に出現するかを調べた。定式化のため、クラスター代数理論におけるローラン現象（Laurent phenomenon、ある種の離散方程式について、方程式の解が初期変数のローラン多項式になるという現象）と、可積分性の関係を利用した。取り扱った方程式は双線形形式においてはローラン現象をもつので、一般項のローラン多項式の因数分解を行い、相異なる2つの項が共通因子を持つかどうかを調査した。この結果、QRT写像（の一種）と離散KdV方程式について、その一般項が既約なローラン多項式であり、従って相異なる2項は、互いに素である（つまり初期変数の単項式以外の共通因子を持たない）ことを証明できた。本年度の主たるテーマはこのような「互いに素」(co-prime条件)を調査し、離散力学系の可積分性との関連を研究することであった。2項が互いに素である性質によって、その2項は同時に特異点には成り得ないことが分かるため、従来の可積分性判定基準「特異点閉じ込めテスト（singularity confinement test）」の代数的な定式化であることがわかった。一方、本手法で既約性を証明するには、方程式ごとに個別の議論を行う必要があり、離散系の形によらない手法の発見が今後の課題である。