実解析学と偏微分方程式への応用

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本年度は、当初の予定とは異なりドイツのBonn大学に2012年10月より2013年10月まで滞在したため、一年の半分はドイツでの研究となった。そこでは、受け入れのJaun J. L. Velázquez教授と九州大学の杉山由恵教授と共同でOthmar-Stevens modelとも呼ばれる細胞性粘菌の走化現象を記述するKeller-Segel系の域解の構成と漸近挙動について取り組んだ。扱った方程式系の特徴としては、粘菌が走化性を誘発する化学物質から受ける影響は、精神物理学におけるWeber-Fechnerの法則に従うとしているところと、その化学物質の拡散性の欠如にある。このような方程式系に対しては、どのような条件下で、有限時間または時間無限大で走化性の崩壊(解のL^￥infty normの発散)起きるか? を調べることが主要な問題となる。大域解の構成ついては、ほほ同時期に行われたAhn-Kangの研究により、走化性の強さを表す定数Cがある条件を満たすときlarge dataに対しても有界な大域解が構成されることが示された。我々が取り組んだのは、それ以外の定数に対しても、初期値に適当な条件を課せば有界な大域解は構成できるか? という問題である。我々は、初期値がある位相で小さければこの命題は正しいことを証明した。漸近挙動については、1次元でC=1の場合に次のようなことが分かった : 十分定数に近い平衡状態に時間無限大で収束するような初期値は選択可能。この結果はまだ成果として弱い部分があるため、さらに研究を発展させてから発表する予定である。また、非圧縮Navier-Stokes方程式の非線形項に関する一つの評価式であるdiv-curl lemmaを重みを考慮した一般化を行った。得られた不等式は考えている応用にはまだ不十分なところがあるが、Coifman-Lions-Meyer-Semmesらによるoriginalなもので抜け落ちていた場合を扱えることができたことは興味深い点である。