シンプレクティック多様体および接触多様体内の部分多様体の研究

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今年度は, 複素Euclide空間C^m内のハミルトン極小(H-極小)ラグランジュ部分多様体の新しい族を構成することを主な目的とした. そのために, Harvey-Lawsonにより特殊ラグランジュ部分多様体の構成手段として用いられた接束内の法束による構成方法を拡張することを試みた. まず法束の外在的性質を調べるために, 法束の部分多様体論を, Harvey-Lawsonの結果の自然な一般化のもとで展開し, 実空間形や複素空間形の場合に拡張した.この考察をもとに, 等径部分多様体と呼ばれるEuclide空間R^m内の部分多様体のクラスにおいて, 法束がH-極小になるものを完全に分類した. 等径部分多様体は, s-表現(対称空間の線形イソトロピー表現)の主軌道や球面内のOT-FKM型等径超曲面と呼ばれる非等質部分多様体などからなるクラスであるが, 球面内の等径超曲面における主要な結果や, s-表現の軌道を記述する制限ルート系などの技術を用いて, 主結果として次を示した : NをR^m内のfullかつ既約な等径部分多様体とする. このとき, νNがTR^m邑内でH-極小ラグランジュ部分多様体になるための必要十分条件は, Nがあるコンパクト単純Lie群Gの随伴表現による主軌道になることである.この系として, コンパクト半単純Lie群GのLie環g内を通るGの随伴表現の主軌道にのような軌道は複素旗多様体またはC-spaceと呼ばれるものである)の法束はTg内で非コンパクト完備なH―極小ラグランジュ部分多様体の族を与えることが従う. 今回得た例をより詳しく調べて行くことにより, C^m内の特殊ラグランジュ部分多様体とH-極小ラグランジュ部分多様体の定性的な理解につなげたい.