測度双曲性多様体の標準束上の特異エルミート幾何

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今年度は準射影代数多様体上の負のリッチ曲率を持つ(概完備)ケーラー・アインシュタイン(KE)計量の境界因子への漸近挙動にっいて考察を行った.この研究は, Tian-Yau, 板東, 小林(亮), そして辻による負のリッチ曲率を持つ(概完備)KE計量の存在定理に端を発しており, その存在のための条件として「随伴束の正値性」が必要である. 一方で, 同じ正値性の条件の下で, 境界の近くでボアンカレ増大である完備ケーラー計量を随伴束のクラスからとると, それを初期計量とする正規化されたケーラー・リッチ(KR)流が先程のKE計量に時間無限大で収束することがLott-Zhang, Chauによって示されている.そして, これまでこれらの標準計量の境界漸近に関しての研究がいくつか成されている. まず「随伴束の正値性」の中で対数的標準束が豊富である場合, KE計量を境界に漸近させると, 境界因子上のKE計量に近づくことがSchumacherによって示された. 一方, 上述のKR流に関しての境界漸近は, 境界上の対応するKR流に近づくことがLott-Zhangによって得られている.私は今年度, Schumacherの結果を参考に, 一般の随伴束の正値性条件の下(この場合には境界はKE計量を許容しない)では, 「KE計量を境界に漸近させると, 境界上の一般化されたKE計量に近づく」と予想を立て, その解決に向けて様々な考察を行った. この予想は複素曲面の場合は正しいと知られているが, 私がこの予想に関して今年度得た成果は, 「境界が一般型であれば予想は正しい」ということである. その証明の鍵は, 境界の標準因子の固定点集合の近傍の外では, 上述のKR流はKE計量に一様収束する, という事実である. これとLott-ZhangによるKR流の境界漸近, そしてKR流は一般化KE計量に収束するという辻, Song-Tianの結果を組み合わせると主張が従う.