準射影多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の境界挙動と対数的標準束の正値性

点击翻译按钮获取中文摘要

対数的標準束が正値性を持つ滑らかな準射影代数多様体上において, リッチ曲率が負の概完備ケーラー・アインシュタイン計量の存在が, 板東, Tian-Yau, 小林亮一氏らによって証明された. その正値性は境界上では退化することが許されるため, その退化が計量の境界挙動へ及ぼす影響を決定することは興味深い問題である. それに答えを与えるため, 体積増大度予想「体積形式の対数部分の冪に境界の小平次元が関わる」, 留数予想「計量の留数が一般化ケーラー・アインシュタイン計量に一致する」という2つを申請者が提案した. それを解決することが本研究の目的の１つである.昨年度は, 境界の(対数的)小平次元が中間の場合の具体例である, ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化に対して, 2つの予想を示すためのアイデアの着想を得た. それは合同部分群問題の解決を用いて, 一般の算術群の場合を主合同部分群の場合に帰着することである. 主合同部分群の場合はW. WangやYau-Zhangの計算を応用することで, 以前に既に解決できていた. 今年度は, このアイデアから正確な証明を構築することに集中し, 完成させることが出来た. 佐竹コンパクト化への標準的な写像を通して, 境界には低次元のジーゲルモジュラー多様体上のトーラスファイブレーションの構造が入る. その得られた結論を述べると, 体積増大度予想に関しては「体積形式の対数部分の冪に, 低次元ジーゲルモジュラー多様体の次元が現れる」である. ここでは低次元ジーゲルモジュラー多様体の次元が(対数的)小平次元と見做せる. 留数予想に関しては「留数は低次元ジーゲルモジュラー多様体のケーラー・アインシュタイン計量の(明示的な)定数倍と一致する」を示した. この定数倍によって, この計量は一般化ケーラー・アインシュタイン計量となっている.