Wiener空間上の無限次元Lie環の表現論

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本研究では無限次元Lie環の表現の立場から確率解析学へアプローチしてきた。Brown 運動の生成するfiltration が持つmartingale 表現定理を精密にしたClark-Ocone公式が知られているが、今回の研究によって、時間に関して離散化したfiltrationに沿った有限次元Wiener汎関数の漸近展開という定式化により、離散Clark-Ocone公式を導入することができた。この離散化公式によって、次の一連の結果を自然に得ることが出来る : 1)離散Clark-Ocone公式による与えられた有限次元Wiener汎関数(の列)の近似に対する誤差解析として、multi-level での中心極限定理、2)離散Clark-Ocone公式による十分滑らかな有限次元Wiener汎関数(列)の1次近似を考えたときの誤差の$N^{-1/2}$-強収束($N$は時間の分割の個数)、3)$f (W_{T})$という形をした1次元的な Wiener 汎関数が"一階以下しか微分出来ない"というようなfractionalな滑らかさしか持たない場合に、離散Clark-Ocone公式によってそのWiener汎関数の1次近似を考えたときの誤差の$N^{-s/2}$-強収束($0 ￥1eq s ￥leq 1$はその fractional regularity)を得ることが出来た。特に、最後の結果については"stationarity"を満たすような Wiener汎関数列に対しても成り立つことまで拡張出来た。さらに、上の全ての結果のアナロジーをPoisson過程に対しても得ることが出来た。Poincare予想を解決したPerelmanの仕事に付随して、Lott氏が導入した$￥mathcal{L}_{O}$-距離をコストとするような最適輸送問題を考えることが出来るが、桑田和正氏(東工大)との共同研究によって、このコストの単調性に対して確率論的アプローチを遂行し、確率論の強みである停止時刻などの手法を用いることで、曲率の下有界性の条件下で、Lottの単調性に関する結果を非コンパクトなRiemann多様体の場合へ拡張した。