確率解析学から諸分野へ

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P. Malliavin の正準拡散過程はその定義からある種の普遍類を成すが、これを制御型 Loewner--Kufarev 方程式として記述したときに KPZ 方程式のような確率偏微分方程式により記述されるのではないかと予想している。これは本研究のテーマの一つである「正準拡散過程がどのような確率モデルの普遍類となるのか」に対する仮説の一つである。そこで制御型 Loewner--Kufarev 方程式の数値解をプロットすることから様子を窺うと、ある種の繰り込みの下でやはり放射状 KPZ 方程式の解のような振る舞いを確認できた。またこの実験の過程で一つ発見があった。また繰り込み付き確率モデルの設計について研究を進めた。画像処理と繋がりのある繰り込みを考えることにより、確率空間の二次元空間上での連続分解が構成できると確信が得られるところまで研究を進展させることができた。統計学の指導原理とも言える Kullback--Leibler divergence 最小化に基づき新たな変分推論の方法を考案した。具体的には、まず設定した統計モデルに対して真の分布を推定する手続きを一つ固定し、この推定分布に対する真の分布の Kullback--Leibler divergence の第一・第二変分公式を導出した。対応する Euler--Lagrange 方程式を数値的に解くために E. B. Vinberg の等質凸錐理論を基に文脈にマッチした Newton--Raphson 法を開発した。この過程で「Kullback--Leibler divergence は確率単体上の自明な (0,∞)-主ファイバー束のゲージ（変換）である」という描像が得られた。これが示す「真の分布を想定することはこのファイバー束においてゲージ固定を行うことに他ならない」の観点は、統計学の問題意識に自然にマッチしている。