超平面配置、特に自由超平面配置に関する研究

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与えられた結晶型既約ルート系Φに対し、その正のルートの集合を一つ固定する。このとき、正のルートに直交する超平面を集めたものの集合をCoxeter配置と呼ぶ。またCoxeter配置の各々の超平面Hに対し、Hと平行な超平面をHで二分される空間の片側にn枚、もう片側にn-1枚等間隔に配置したものとCoxeter配置を合わせたものを拡張されたShi配置Shi^nと呼び、両側にn枚ずつ配置したものとCoxeter配置を合わせたものを拡張されたCatalan配置Cat^nと呼ぶ。特に、Shi^1はCoxeter配置に超平面を加えたもの、Cat^1はShi^1に超平面を加えたもの、Shi^2はCat^1に超平面を加えたもの、というようにShi配置とCatalan配置はCoxeter配置に超平面を付け加えていく度に交互に現れる。拡張されたShi配置、及び拡張されたCatalan配置の自由性は吉永正彦氏により示されているが、その対数的導分加群の具体的な基底構成は現在のところ、A型、B型、c型、D型のShi^1に対してのみ知られているだけである。本年度は、階数2のA型の拡張されたShi配置Shi^nと拡張されたCatalan配置Cat^nに対して、それらの超平面配置に付随する対数的導分加群の自由性を、具体的な基底を構成することにより示した。この構成では阿部拓郎氏と寺尾宏明氏によって導入されたSimple-Root基底と呼ばれる拡張されたShi配置に付随する導分加群の基底、及び無限遠超平面に制限したときに得られる多重超平面配置の導分加群の具体的な基底構成が重要な役割を果たす。