高次ＨｏｃｈｓｃｈｉｌｄホモロジーとＧｏｏｄｗｉｌｌｉｅ　微積分

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Chas-Sullivanにより創始されたストリングトポロジーの理論により, 有向閉多様体の自由ループ空間のホモロジー上には豊かな代数構造がある事が発見された。更に, Felix-Thomasにより, 有向閉多様体からGorenstein空間にストリングトポロジーの理論が拡張された。ここで, Gorenstein空間とは有向閉多様体を一般化したものであり、他にはコンパクト連結リー群やBorel構成がGorenstein空間となる。Gorenstein空間上のストリングトポロジーの理論は、Gorenstein空間自体扱い辛い空間為か、未だ研究が進展していないのが現状である。そこで、Gorenstein空間上のストリングトポロジーの研究を進める為には, 具体的な計算例からその性質を見出す事が重要である。その試みの足掛かりとして, 分類空間上のストリング作用素に着目した。分類空間上でのストリングトポロジーに関しては、栗林氏とMenichi氏の仕事がある。彼らは、分類空間のループコホモロジーと多項式環のHochschildコホモロジーが代数として同型である事を示した。この結果は、それぞれの代数を具体的に計算する事で証明されている。一方, 私は、有理ホモトピー論とVanden Bergh同型写像を用いて、分類空間のループコホモロジーと多項式環のHochschildコホモロジー環が代数として一致する事を示した。これは彼らの結果の別証明を与えただけではなく、Calabi-Yau代数とストリングトポロジーが関係している事を裏付ける1つの結果である。更に、私は無限次元複素射影空間の一点和のストリング作用素の構造を有理ホモトピー論を用いて完全に決定した。この計算で示された事は、多様体や分類空間の時の様に、ループ積、ループ余積のどちらかが殆ど自明という偏った構造を持つのではなく、共に十分非自明な構造を持つ事が観察された。この研究により、多様体よりもGorenstein空間という広いクラスからストリングトポロジーを捉えた方が良いという証拠を得られる事が出来た。