ストリングトポロジーとゴールドマン・トゥラエフ・リー双代数の研究

弦拓扑和 Goldman-Tulayev-Lie 双代数的研究

• 批准号: 15J08790
• 负责人: 内藤 貴仁
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2015
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2015-04-24 至 2018-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15J08790/
• 关键词: ストリングトポロジー; 自由ループ空間; 有理ホモトピー論; ループ空間; トゥラエフ・リー余代数

Chas, Sullivanにより創始されたストリングトポロジーの理論により，向き付けられた閉多様体の自由ループ空間のホモロジー（以後ループホモロジーと呼ぶ）上には様々な代数構造が発見された。本研究の目的は、ストリングトポロジーの立場からループホモロジーの構造の複雑さを解明する事である。本年度は、まずループ積の新たな具体的計算例を与える為に、３次特殊ユニタリ群を極大トーラスで割った、最も基本的な完全旗多様体について考えた。これに関する先行研究としては、Burfitt氏による結果がある。彼はpath-loopファイブレーションに付随するLerray -Serreスペクトル系列を用いて、自由ループ空間の整係数ホモロジー環の構造を決定している。一方、私は有理ホモトピー論、特にFelix-Thomas-VigueによるSullivanモデルを用いたループ積の有理モデルを用いて、有理係数ループホモロジー群の完全決定、及びループ積の部分的な計算結果を得る事に成功した。Burfitt氏の結果と比べると有理係数となり得られる情報は落ちるが、有理ホモトピー論の恩恵によりループ積の構造を部分的に決定できた。次にループホモロジーの複雑性を解明する１つの試みとして、ループ空間に対するChenの反復積分の理論を用いた研究アプローチを行った。Chenの反復積分の理論のアイデアにより、ループ空間のホモロジー群から、完備テンソル代数に適切な微分を定めたチェイン複体のホモロジーへの準同型を構成する事ができる。本研究では、ループホモロジー群のホモロジー類をこの準同型で写した時に、完備テンソル代数のどのような元を与えるかを調べた。その結果、まずこの準同型とHurewicz準同型との関係を明らかにした。つこれにより、あるループホモロジー類を上述の準同型でテンソル表示すると、その長さ１の部分を明らかにした。

Chas, Sullivan に よ り founding さ れ た ス ト リ ン グ ト ポ ロ ジ ー の theory に よ り, pay き け ら れ た closed more than others in body の free ル ー プ space の ホ モ ロ ジ ー (hereafter ル ー プ ホ モ ロ ジ ー と shout ぶ) on に は others 々 な algebraic structure が 発 see さ れ た. The purpose of this study is ストリ, ストリ, グトポロジ, グトポロジ, the position of プホモロジ, the construction of プホモロジ, and the 雑さを explanation of する. This year は, ま ず ル ー プ product の new た な concrete calculation example を and え る に, three special ユ ニ タ リ group を greatly ト ー ラ ス で cut っ た, the most basic も な completely flag many others body に つ い て exam え た. The する れに is related to the する preliminary study of と て て する and Burfitt による results がある. He は path - loop フ ァ イ ブ レ ー シ ョ ン に pay with す る Lerray - Serre ス ペ ク ト ル series を い て, free ル ー プ space の integral coefficients ホ モ ロ ジ ー ring の tectonic を decided し て い る. Party, private は rational ホ モ ト ピ ー theory, special に Felix - Thomas - Vigue に よ る Sullivan モ デ ル を with い た ル ー プ product の rational モ デ ル を with い て, rational coefficient ル ー プ ホ モ ロ ジ ー group の fully determined, and び ル ー プ product の part of な computing results る を matter に success し た. Burfitt's と の results than べ る と rational coefficient と な り must ら れ る intelligence は fall ち る が, rational ホ モ ト ピ ー theory の grace travelling に よ り ル ー プ product の tectonic を part に decided で き た. Time に ル ー プ ホ モ ロ ジ ー の complex 雑 sex を interpret す る 1 つ の try み と し て, ル ー プ space に す seaborne る Chen を の の repeated integral theory with い た research ア プ ロ ー チ を line っ た. Chen の の repeated integral theory の ア イ デ ア に よ り, ル ー プ space の ホ モ ロ ジ ー group か ら, complete テ ン ソ ル adequate な differential algebraic に を set め た チ ェ イ ン complex の ホ モ ロ ジ ー へ の quasi with type を す る matter が で き る. This study で は, ル ー プ ホ モ ロ ジ ー group の ホ モ ロ ジ ー class を こ の allowed type with で to write し た に, complete テ ン ソ ル algebra の ど の よ う な yuan を and え る か を adjustable べ た. Youdaoplaceholder0 そ results, まず <s:1> quasisomorphism of とHurewicz quasisomorphism と そ relationship を, ら ら に た た た. つ こ れ に よ り, あ る ル ー プ ホ モ ロ ジ ー class を above の quasi type with で テ ン ソ ル said す る と, そ の long さ part 1 の を Ming ら か に し た.

项目成果

Sullivan's coproduct and a double bracket on the reduced based loop space homology

沙利文余积和基于简化环空间同调的双括号

• 发表时间: 2017
• 作者: Saito;M. U. and Koike;F.;内藤貴仁
• 通讯作者: 内藤貴仁

The loop homology of rationally elliptic manifolds

有理椭圆流形的环同调

• 发表时间: 2016
• 作者: 櫻井祐也;E. I. Vorobyov;細川隆史;吉田直紀;大向一行 & H. W. Yorke;内藤貴仁
• 通讯作者: 内藤貴仁

A homotopical description of Sullivan's coproduct

沙利文余积的同伦描述

• 发表时间: 2015
• 作者: Y. Sakurai;T. Hosokawa;N. Yoshida & H. W. Yorke;内藤貴仁
• 通讯作者: 内藤貴仁

ストリングトポロジーとGoldman-Turaev Lie双代数

弦拓扑和 Goldman-Turaev 李双代数

• 发表时间: 2016
• 作者: 櫻井祐也;E. I. Vorobyov;細川隆史;吉田直紀;大向一行 & H. W. Yorke;内藤貴仁
• 通讯作者: 内藤貴仁

On Sullivan's coproduct and its properties

论沙利文联积及其性质

• 发表时间: 2015
• 作者: Y. Sakurai;T. Hosokawa;N. Yoshida & H. W. Yorke;内藤貴仁
• 通讯作者: 内藤貴仁