有限射影平面と一般アダマール行列

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いわば一般アダマール行列になりかけの部分行列を差行列という。ある差行列の無限系列が平峰豊氏との共同研究で構成出来たので報告する。この研究は論文「Difference matrices related to Sophie Germain primes p using functions on the fields F_{2p+1}」としてまとめられ, 雑誌 「Designs, Codes and Cryptography」に掲載されることが確定している。位数uの群Uからの成分を持つk×uλ行列M=[d_{ij}]は, もし商たちd_{il}/d_{jl},1≦l≦uλのリストがすべての異なるi,jに対して丁度λ回(一定個数)Uの各元を含むならば, (u,k,λ)-差行列と呼ばれる。D. Jungnickel はk≦uλであることを示した。しかしながら, 任意のパラメータを持つ差行列を構成することに対して, 一般的な方法は知られていない。上記論文では, u=p(>2)が quasi Sophie Germain 素数, ここでλ=q(=2p+1)は素数ベキである, の場合を考えられ, F_qからF_q/{0}への関数を使ってZ_p上の(p,(p-1)q/2,q)-差行列が存在することを示される。点集合上正則に作用するが,ブロック集合上そうでない, 自己同型群を持つ横断デザインの dual を構成することによって示される。この考え方がこの構成の独創的な点である。実は, この論文ではこの構成はより一般的な形の構成の具体例として述べられ, もう一つの構成の例についても述べられる。