自然現象を記述する偏微分方程式の解の漸近挙動に関する研究

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本年度は, 冪乗型非線形項と時間変数に依存した係数の摩擦項を持つ波動方程式の初期値問題に対する解の爆発に関する研究を行った. 定数係数の摩擦項を持つ非線形波動方程式の初期値問題に対する大域解は, 十分に時間が経過すると対応する熱方程式の解で近似できることはよく知られている. それにも関わらず解の爆発に関する研究は, 熱方程式のそれに比べて進んでいるとは言えない. 2015年に私は, 若杉氏と共同で, 絶対値冪型の非線形項に対して, その次数が藤田臨界指数よりも小さい場合に, 解の最大存在時刻に関するほぼ最良の評価を導出した. また, この結果を摩擦項の係数が効果的に働く時間変数か空間変数のどちらか一方に依存する場合に拡張することに成功した. しかし, 最適な評価は得られておらず, また解の発散速度も不明のままであった. そこで私は, 藤原氏と若杉氏と共同で, この問題を再度異なるアプローチを用いて研究することにより, 定数係数を含んだ効果的に働く時間変数に依存した摩擦項を持つ絶対値冪乗型の非線形項に対して, 解の爆発時刻の最良の評価と解のある積分量の発散速度を導出した. この結果は, 国際誌に投稿しており, 国内外の研究集会では既に口頭発表を行った.