ランダムウォークを持つ距離空間とその位相

本年度は前年度に引き続き, RCD 空間と呼ばれる測度距離空間についての研究を続けた. Bishop 型不等式を満たすような RCD 空間についての性質についてまとめて論文として発表した. このような空間を考える一つの動機としては, 非崩壊 Ricci limit 空間と呼ばれる解析しやすい対象の類似物を RCD 空間にも定義することにあった. その試みは正則集合の一意性, Hausdorff 次元の整数性, 接錐が距離錐になることなどを示せたことである程度成功したと言って良い. しかしこの二つのクラスは完全に一致しているわけではない. 実際非崩壊の Ricci limit 空間ではないような Bishop 型不等式を満たす RCD 空間は実際に論文の中で具体例を挙げている. この二つのクラスはどれほど異なっているのであろうか. 論文で例に挙げている空間はユークリッド空間内の閉凸集合であり, その測度は通常の Hausdorff 測度になっている. そこで一般に Bishop 型不等式を満たす RCD 空間の測度は Hausdorff 測度かという疑問が生じる. 現在そこまでは証明できてはいないが, 互いに絶対連続であることはすでに分かっている. 現在解析的な手法を用いてこれを証明しようとしているが, その過程でやはり正則集合の分布が大事であることに気づいた. まだ preprint の状態であるが, 正則集合が正測度を持つための十分条件を一つ得たのでそれについても現在研究を引き続き行っている.

本年度は前年度に引き続き, RCD 空間と呼ばれる測度距離空間についての研究を続けた. Bishop 型不等式を満たすような RCD 空間についての性質についてまとめて論文として発表した. このような空間を考える一つの動機としては, 非崩壊 Ricci limit 空間と呼ばれる解析しやすい対象の類似物を RCD 空間にも定義することにあった. その試みは正則集合の一意性, Hausdorff 次元の整数性, 接錐が距離錐になることなどを示せたことである程度成功したと言って良い. しかしこの二つのクラスは完全に一致しているわけではない. 実際非崩壊の Ricci limit 空間ではないような Bishop 型不等式を満たす RCD 空間は実際に論文の中で具体例を挙げている. この二つのクラスはどれほど異なっているのであろうか. 論文で例に挙げている空間はユークリッド空間内の閉凸集合であり, その測度は通常の Hausdorff 測度になっている. そこで一般に Bishop 型不等式を満たす RCD 空間の測度は Hausdorff 測度かという疑問が生じる. 現在そこまでは証明できてはいないが, 互いに絶対連続であることはすでに分かっている. 現在解析的な手法を用いてこれを証明しようとしているが, その過程でやはり正則集合の分布が大事であることに気づいた. まだ preprint の状態であるが, 正則集合が正測度を持つための十分条件を一つ得たのでそれについても現在研究を引き続き行っている.